Question

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте эскиз Графика: y=-x³+12x+6

Answer 1

Дано уравнение y=-x³+12x+6.
1) Самое сложное в этом задании - найти точки пересечения графика с осью Ох. Для этого надо решить кубическое уравнение:
-х³ + 12х + 6 = 0  или, что равно: х³ - 12х - 6 = 0.
Для вычисления корней этого кубического уравнения используем тригонометрическую формулу Виета, которая работает для уравнений вида:  x³+ax²+bx+c=0.
 В нашем случае a=0, b=−12  и c=−6.
Находим $Q= \frac{a^2-3b}{9 }= \frac{0+36}{9} =4.$
$R= \frac{2a^3-9ab+27c}{54} = \frac{0-0-27*6}{54} =-3.$
S = Q³ - R² = 64-9 = 55 > 0 ⇒ имеем 3 вещественных корня.
Находим угол ψ = (1/3)arc cos(R/√(Q³) = (1/3)arc cos (-3/√(4³) = 
 = (1/3)arc cos(-3/8) = (1/3) 1,955193 = 0,651731.
Находим cos ψ = 0,795035.
Теперь находим корни:
x₁ = -2√Q*cos ψ + (2π/3)) - (a/3) = -2*√4*0,795035 - 0 = -3,18014.
x₂ = -2√Q*cos (ψ + (2π/3)) - (a/3) = -4*(-0,92282) = 3,691268.
x₃ =  -2√Q*cos (ψ - (2π/3)) - (a/3) = -4*0,127782 =  -0,51113.

2) Точка пересечения графика с осью Оу равна значению функции при х = 0. у =6.

3)

Answer 2

Функция и ее производная

Данная функция задана уравнением: y = -x³ + 12x + 6. Чтобы исследовать функцию с помощью производной, мы можем вычислить производную функции и проанализировать ее свойства.

Для начала, найдем производную функции y по x. Производная функции позволяет нам определить скорость изменения функции в каждой точке.

Производная функции y по x равна: y' = -3x² + 12.

Анализ функции

Теперь, когда у нас есть производная функции, мы можем проанализировать ее свойства и построить эскиз графика.

1. Найдем точки экстремума функции, где производная равна нулю: -3x² + 12 = 0. Решив это уравнение, мы получим две точки экстремума: x = -2 и x = 2.

2. Определим знак производной в интервалах между точками экстремума и за пределами этих интервалов. Для этого выберем произвольные значения x в каждом интервале и подставим их в производную функции. Например, если мы возьмем x = -3, то y' = -3(-3)² + 12 = -3(9) + 12 = -27 + 12 = -15. Таким образом, в интервале (-∞, -2) производная отрицательна.

3. Определим значения функции y в точках экстремума и в концах интервалов. Например, для x = -2, y = -(-2)³ + 12(-2) + 6 = -8 - 24 + 6 = -26. Таким образом, в точке экстремума x = -2, значение функции y равно -26.

4. Построим эскиз графика функции, используя полученные данные. На основе анализа производной и значений функции, мы можем представить график функции y = -x³ + 12x + 6.

Эскиз графика


На графике видно, что функция имеет точки экстремума в x = -2 и x = 2. В интервале (-∞, -2) функция убывает, в интервале (-2, 2) функция возрастает, а в интервале (2, +∞) функция снова убывает. Также можно заметить, что функция пересекает ось y в точке (0, 6).

Примечание

Данный ответ основан на анализе производной функции и построении эскиза графика на основе полученных данных. Информация о производной и эскизе графика была взята из поисковых результатов