Question

Среднее арифметическое четырёх чисел равно 34. Найдите эти числа, если известно, что они прямо пропорциональны четырём простым натуральным числам?

Answer 1

(a + b + c + d)/4 = 34
a + b + c + d = 34*4 = 8*17
Все числа пропорциональны простым с одинаковым коэффициентом k.
a = kp; b = kq; c = kr; d = ks
k*(p + q + r + s) = 8*17
Очевидно, k = 2, 4 или 8, так как сумма 4 простых чисел не может быть 8.
Если k = 2, то p + q + r + s = 4*17 = 68
1) 68 = 3 + 5 + 13 + 47; числа: 6, 10, 26, 94.
2) 68 = 5 + 7 + 13 + 43; числа 10, 14, 26, 86.
3) 68 = 3 + 5 + 19 + 41; числа 6, 10, 38, 82.
4) 68 = 3 + 5 + 23 + 37; числа 6, 10, 46, 74.
5) 68 = 2 + 5 + 31 + 31; числа 4, 10, 62, 62.
Если k = 4, то p + q + r + s = 2*17 = 34
6) 34 = 3 + 3 + 5 + 23; числа 12, 12, 20, 92.
7) 34 = 3 + 5 + 7 + 19; числа 12, 20, 28, 76
8) 34 = 2 + 2 + 13 + 17; числа 8, 8, 52, 68.
Если k = 8, то p + q + r + s = 17
9) 17 = 2 + 2 + 2 + 11; чисда 16, 16, 16, 88
10) 17 = 2 + 3 + 5 + 7; числа 16, 24, 40, 56.
Это на первый взгляд - уже 10 решений.
Если подумать второй раз, можно и еще найти.

Answer 2

Давайте обозначим четыре простых натуральных числа через \( a, b, c \) и \( d \). Тогда условие прямой пропорциональности может быть записано как:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \]

Также известно, что среднее арифметическое этих четырех чисел равно 34:

\[ \frac{a+b+c+d}{4} = 34 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \] \[ \frac{a+b+c+d}{4} = 34 \]

Мы можем решить эти уравнения. Для этого умножим оба члена первого уравнения на \( bd \), чтобы избавиться от дробей:

\[ ad = bc \]

Теперь мы можем выразить одну переменную через другую в первом уравнении, например, выразим \( c \):

\[ c = \frac{ad}{b} \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[ \frac{a+b+\frac{ad}{b}+d}{4} = 34 \]

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ ab + 4b + ad + 4d = 136 \]

Теперь мы можем выразить \( d \) через \( b \) и подставить в уравнение для \( c \):

\[ c = \frac{a \cdot \frac{ad}{b}}{b} = \frac{a \cdot ad}{b^2} \]

Теперь у нас есть выражения для \( c \) и \( d \) через \( a \) и \( b \). Подставим их в уравнение для среднего арифметического:

\[ ab + 4b + ad + 4 \cdot \frac{a \cdot ad}{b^2} = 136 \]

Это уравнение содержит две переменные (\( a \) и \( b \)), и его решение даст нам значения \( a \) и \( b \). После этого можно выразить \( c \) и \( d \) через \( a \) и \( b \). К сожалению, точное решение данного уравнения выходит за рамки текстового ответа, и его можно решить численными методами или использовать программное обеспечение для математических вычислений.