Question

Найдите общий вид первообразной для функци : f(x)=x² (1-x)

Answer 1

1) f(x)=x²-x³;
2)  $F(x)= \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +C;$
В качестве альтернативной записи можно взять 
$F(x)= \frac{1}{12} x^3(4-3x)+C;$

Answer 2

Конечно, чтобы найти первообразную функции \(f(x) = x^2 + (1 - x)\), нужно найти функцию, производная которой равна этой функции.

Для нахождения первообразной используем правила интегрирования:

\(\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n\) - любое действительное число, кроме -1, а \(C\) - постоянная интегрирования.

Итак, возьмем первообразные от каждого слагаемого:

\(\int x^2 \,dx = \frac{x^3}{3} + C_1\) (где \(C_1\) - постоянная интегрирования для \(x^2\))

\(\int (1 - x) \,dx = x - \frac{x^2}{2} + C_2\) (где \(C_2\) - постоянная интегрирования для \((1 - x)\))

Теперь сложим обе первообразные:

\(\int x^2 \,dx + \int (1 - x) \,dx = \frac{x^3}{3} + x - \frac{x^2}{2} + C_1 + C_2\)

Объединим постоянные интегрирования \(C_1\) и \(C_2\) в одну постоянную \(C\):

\(\frac{x^3}{3} + x - \frac{x^2}{2} + C\)

Итак, общая первообразная функции \(f(x) = x^2 + (1 - x)\) равна:

\[F(x) = \frac{x^3}{3} + x - \frac{x^2}{2} + C\]

где \(C\) - произвольная постоянная.