Question

ДЕЛИТ ЛИ Медиана треугольника стороны треугольника в отношении 2:1,СЧИТАЯ ОТ ВЕРШИНЫ?

Answer 1

Медиана-отрезок проходящий из вершины  треугольника к середине противоположной стороны. Значит не может

Answer 2

Да, медиана треугольника делит стороны треугольника в отношении 2:1, считая от вершины.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Пусть треугольник ABC имеет стороны a, b и c, а медиана, исходящая из вершины A, пересекает сторону BC в точке D. Тогда отрезок AD является медианой треугольника.

Если медиана делит сторону BC в отношении 2:1, то можно сказать, что BD = 2 * CD.

Чтобы доказать это, рассмотрим треугольник ABD и треугольник ACD. Они имеют общую высоту (медиану) и основания, которые являются сторонами треугольника. Поэтому площади этих треугольников пропорциональны и можно записать:

S(ABD) : S(ACD) = BD : CD,

где S(ABD) и S(ACD) - площади треугольников ABD и ACD соответственно.

Но площади треугольников можно выразить через длины их сторон, используя формулу Герона:

S(ABD) = √(p * (p - a) * (p - BD) * (p - AD)), S(ACD) = √(p * (p - a) * (p - CD) * (p - AD)),

где p - полупериметр треугольника ABC, a - длина стороны BC.

Подставим эти выражения в пропорцию:

√(p * (p - a) * (p - BD) * (p - AD)) : √(p * (p - a) * (p - CD) * (p - AD)) = BD : CD.

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

√((p - BD) * (p - AD)) : √((p - CD) * (p - AD)) = BD : CD.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(p - BD) * (p - AD) : (p - CD) * (p - AD) = (BD/CD)^2.

Поскольку AD является медианой, то точка D делит сторону BC пополам, то есть CD = 1/2 * BC. Тогда выражение упрощается:

(p - BD) * (p - AD) : (p - 1/2 * BC) * (p - AD) = (BD/CD)^2.

Сократим на (p - AD):

(p - BD) : (p - 1/2 * BC) = (BD/CD)^2.

Раскроем скобки:

p - BD : p - 1/2 * BC = (BD/CD)^2.

Перенесем слагаемое справа влево:

p - BD - (1/2 * BC * (BD/CD)^2) = p - 1/2 * BC.

Упростим выражение:

p - BD - 1/2 * (BD/CD)^2 * BC = p - 1/2 * BC.

Перенесем слагаемые справа влево:

BD - 1/2 * (BD/CD)^2 * BC = 1/2 * BC.

Умножим обе части уравнения на 2:

2 * BD - (BD/CD)^2 * BC = BC.

Выразим BD через BC и CD:

2 * BD = (BD/CD)^2 * BC + BC.

Вынесем BD за скобку:

2 * BD = BC * ((BD/CD)^2 + 1).

Распишем квадрат:

2 * BD = BC * (BD^2/CD^2 + 1).

Умножим обе части уравнения на CD^2:

2 * BD * CD^2 = BC * (BD^2 + CD^2).

Раскроем скобки:

2 * BD * CD^2 = BC * BD^2 + BC * CD^2.

Вынесем BC * BD^2 налево:

BC * BD^2 - 2 * BD * CD^2 + BC * CD^2 = 0.

Факторизуем левую часть:

BD^2 * (BC - 2 * CD^2) + BC * CD^2 = 0.

Так как BD^2 ≠ 0, то уравнение равно нулю только в том случае, когда:

BC - 2 * CD^2 = 0.

Разделим обе части уравнения на CD^2:

BC/CD^2 - 2 = 0.

Подставим значение CD = 1/2 * BC:

BC/(1/2 * BC)^2 - 2 = 0.

Упростим выражение:

BC/(1/4 * BC^2) - 2 = 0.

Перевернем дробь:

BC * (4 * BC^2)/1 - 2 = 0.

Умножим BC на 4 * BC^2:

4 * BC^3 - 2 = 0.

Разделим обе части уравнения на 2:

2 * BC^3 - 1 = 0.

Добавим 1 к обеим частям уравнения:

2 * BC^3 = 1.

Разделим обе части уравнения на 2:

BC^3 = 1/2.

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

BC = ∛(1/2).

Таким образом, сторона треугольника, относительно которой медиана делит стороны в отношении 2:1, равна корню кубическому из 1/2.