Question

Петя придумал два трёхзначных числа УРА и ЮМШ причём все цифры УРАЮМШ различны и не равны нулю. Посчитав произведение УРА•Ю•ММ•ШШШ он обнаружил что оно равно квадрату целого числа. Чему может равняться число ЮМШ если его цифры расположены в порядке возрастания ? Найдите все возможные

Answer 1

УРА * Ю * 11 * М * 37 * 3 * Ш - квадрат числа

=> УРА делится на 11 и на 37

11*37 = 407 - не подходит, т.к. в числе не должно быть 0

407 * 2 = 814 - единственное трехзначное число, которое делится на 11 и 37 и не содержит 0

2 * Ю * М * Ш * 3 - квадрат числа

Ю М Ш равны могут быть только цифрам 2 3 и 9 или 4 6 и 9, чтобы произведение было квадратом(остальные цифры не будут давать пары, чтобы получить квадраты), в любом порядке, т.е.

Ответ: 239, 469

Answer 2

Чтобы найти возможные значения числа ЮМШ, мы должны рассмотреть все возможные комбинации трехзначных чисел, удовлетворяющих условию.

Первое трехзначное число УРА имеет вид: У = 1, Р = 2, А = 3. Второе трехзначное число ЮМШ имеет вид: Ю = 4, М = 5, Ш = 6.

Теперь мы можем выразить произведение УРА•Ю•ММ•ШШШ:

УРА = 123 Ю = 4 ММ = 55 ШШШ = 666

Произведение будет равно:

123 * 4 * 55 * 666 = 1,724,040

Чтобы это произведение было квадратом целого числа, само число должно быть квадратом целого числа. Разложим 1,724,040 на простые множители:

1,724,040 = 2^3 * 5 * 7 * 13^2 * 17

Из этого разложения мы видим, что все простые множители входят в степень 1, за исключением 2, который входит в степень 3. Это означает, что число 1,724,040 не является квадратом целого числа, а следовательно, произведение УРА•Ю•ММ•ШШШ не может быть равно квадрату целого числа.

Таким образом, нет возможных значений для числа ЮМШ, если его цифры расположены в порядке возрастания.