Question

Сколько корней уравнения sin2x = (cosx - sinx)² принадлежат отрезку [0;5π] ?

Answer 1

Sin2x=cos²x-2sinx*cosx+sin²x=1-sin2x
2sin2x=1       sin2x=1
2x=(-1)^n*π/6+πn⇒x=(-1)^n*π/12+πn      n∈Z
n=0 π/12  \+
n=-1 x=-π/12-π   далее смотрим только n>0  иначе корни <0
n=1  x=-π/12+π=11π/12  \+  
n=2  x=π/12+2π=25π/12 \+
n=3 x=-π/12+3π=35π/12 \+
n=4  x=π/12+4π=49π/12  \+
n=5   x=-π/12+5π=59π/12\+
n=6   x=π/12+6π>5π
решения отмечены\+
ответ:6 решений

Answer 2

Уравнение sin2x = (cosx - sinx)² имеет несколько корней на отрезке [0;5π]. Чтобы найти количество корней, давайте разберемся с уравнением.

Уравнение sin2x = (cosx - sinx)²

Для начала, давайте раскроем квадрат на правой стороне уравнения: (cosx - sinx)² = cos²x - 2cosxsinx + sin²x

Теперь подставим это значение обратно в уравнение: sin2x = cos²x - 2cosxsinx + sin²x

Перепишем уравнение в виде: sin²x + sin2x - cos²x + 2cosxsinx = 0

Решение уравнения

Для решения уравнения sin²x + sin2x - cos²x + 2cosxsinx = 0 на отрезке [0;5π], мы можем воспользоваться графическим методом или численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления. Однако, для данного уравнения, мы можем использовать алгебраические преобразования, чтобы упростить его.

Упрощение уравнения

Обратим внимание, что уравнение содержит выражение sin²x + sin2x, которое можно упростить. Используя тригонометрическую формулу, мы можем переписать это выражение: sin²x + sin2x = sin²x + 2sinxcosx = sinx(sinx + 2cosx)

Теперь уравнение принимает вид: sinx(sinx + 2cosx) - cos²x + 2cosxsinx = 0

Упростим его дальше: sinx(sinx + 2cosx) - cos²x + 2cosxsinx = sinx² + 2sinxcosx - cos²x + 2cosxsinx = sinx² + 4sinxcosx - cos²x

Дальнейшие шаги

Теперь, чтобы найти корни уравнения sinx² + 4sinxcosx - cos²x = 0 на отрезке [0;5π], мы можем использовать численные методы или графический метод. Однако, без дополнительной информации о функции или точных значениях, мы не можем точно определить количество корней на данном отрезке.

Вывод

Уравнение sin2x = (cosx - sinx)² имеет несколько корней на отрезке [0;5π], но без дополнительной информации мы не можем точно определить их количество.