Question

Сколько существует различных пар натуральных чисел, разность квадратов которых равна 45? А. 1 Б. 2 В. 3 Г. 4 Сколько существует натуральных чисел, которые в 7 раз больше своего наименьшего делителя, отличного от 1? А. 2 Б. 3 В. 4 Г. 5 По неподвижному эскалатору Вова спускается за 12 секунд. Если Вова будет стоять на месте, то движущийся эскалатор поднимет его наверх за 20 секунд. Сколько времени потребуется Вове, чтобы спуститься по движущемуся вверх эскалатору?

Answer 1

1) Из условия задачи можно записать следующее равенство
$x^{2} - y^{2} =(x-y)(x+y)=45$
число 45 получается при умножении следующих чисел: 3 на 15; 5 на 9 (общие делители числа 45 - 3,5, 9,15). тогда получаем две системы уравнений

$\left \{ {{x-y=3} \atop {x+y=15}} \right.$
сложим первое со вторым уравнением, получаем 2х=18 ⇒ x=9; y=15-9=6
Первая пара чисел x=9 и y=6

$\left \{ {{x-y=5} \atop {x+y=9}} \right.$
сложим первое со вторым уравнением, получаем 2x=14 ⇒ x=7; y=9-7=2
Вторая  пара чисел x=7 и y=2

Итого 2 пары чисел, ответ Б)

2) Пусть x - натуральное число, y - наименьший делитель. Тогда по условию задачи можно записать
 ⇒ x=7y
Наименьшим делителем без повторений (возможности разложения, т. е. эти числа меньше или равны 7) будут следующие числа: 2, 3, 5, 7 
 4 числа ответ В)

3) Собственная скорость Вовы $Vv= \frac{1}{12}$ единиц длинны в секунду (1 - это весь путь)
Собственная скорость экскалатора $Va= \frac{1}{20}$ единиц длинны в секунду (1 - это весь путь)
Время спуска Вовы при движущемуся вверх эскалатору 
$t= \frac{1}{Vv-Va}= \frac{1}{ \frac{1}{12}- \frac{1}{20} } = \frac{240}{8}=30$ секунд

Answer 2

Question 1

The number of pairs of natural numbers whose square difference is 45 is 2. Let the two natural numbers be x and y. Then (x-y)(x+y) = 45. Since 45 is a product of three and three prime factors, (x-y) must be 3 and (x+y) must be 15. Solving the two equations x-y = 3 and x+y = 15, we get x = 9 and y = 6. So there are two pairs of natural numbers (9, 6) and (6, 9) whose square difference is 45. The answer is B.

Question 2

The number of natural numbers that are 7 times greater than their smallest non-1 divisor is 3. Let one such number be n. Then n = 7k, where k is the smallest non-1 divisor of n. The only possibilities for k are 2, 3, 5. This gives the numbers n = 14, 21, 35. The answer is C.

Question 3

Vova takes 12 seconds to go down the stationary escalator. If Vova stands still, the moving escalator takes him up in 20 seconds. Let the speed of the escalator be s meters/second. Then the speed of Vova relative to the ground is -s m/s when going down the stationary escalator. And the speed is s m/s when being carried up by the moving escalator. Using the formula, Speed = Distance / Time: -s = Distance / 12 s = Distance / 20 Equating the two speeds and solving for time: t = Distance / (-s + s) = Distance / (20 - 12) = Distance / 8 Therefore, the time taken for Vova to go down the moving escalator upwards is 8 seconds. The answer is D.