Question

Иррациональные уравнения 1) корень из Х = корень из (1-х) = х 2) корень из ( корня х+2 + корень х-9 ) = 2 3) х-2 / корень из 2х-7 = корень х-4 4) корень х+2 + корень х-6 = 5

Answer 1

1.

$\\\sqrt{x}\cdot\sqrt{1-x}=x\\ D:x\geq0 \wedge 1-x\geq0\\ D:x\geq 0\wedge x\leq1\\ D:x\in\langle0,1\rangle\\\\ \sqrt{x}\cdot\sqrt{1-x}=x\\ \sqrt{x(1-x)}=x\\ \sqrt{x-x^2}=x\\ x-x^2=x^2\\ 2x^2-x=0\\ x(2x-1)=0\\ x=0 \vee x=\frac{1}{2}$

 

2.

$\\\sqrt{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-9}}=2\\ D:x+2\geq0 \wedge x-9\geq0\\ D:x\geq-2 \wedge x\geq9\\ D:x\geq9\\\\ \sqrt{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-9}}=2\\ \sqrt{x+2}+\sqrt{x-9}=4\\ \sqrt{x+2}=4-\sqrt{x-9}\\ x+2=16-8\sqrt{x-9}+x-9\\ 8\sqrt{x-9}=5\\ 64(x-9)=25\\ 64x-576=25\\ 64x=601\\ x=\frac{601}{64}$

 

3.

$\\\frac{x-2}{\sqrt{2x-7}}=\sqrt{x-4}\\ D:2x-7>0\wedge x-4\geq0\wedge x-2\geq0\\ D:x>\frac{7}{2} \wedge x\geq4\wedge x\geq2\\ D:x\geq4\\\\ \frac{x-2}{\sqrt{2x-7}}=\sqrt{x-4}\\ \sqrt{(x-4)(2x-7)}=x-2\\ (x-4)(2x-7)=x^2-4x+4\\ 2x^2-7x-8x+28=x^2-4x+4\\ x^2-11x+24=0\\ x^2-3x-8x+24=0\\ x(x-3)-8(x-3)=0\\ (x-8)(x-3)=0\\ x=8 \vee x=3\\ -3\not \in D\\ x=8$

 

4.

$\\\sqrt{x+2}+\sqrt{x-6}=5\\ D:x+2\geq0\wedge x-6\geq0\\ D:x\geq-2 \wedge x\geq6\\ D:x\geq6\\\\ \sqrt{x+2}+\sqrt{x-6}=5\\ \sqrt{x+2}=5-\sqrt{x-6}\\ x+2=25-10\sqrt{x-6}+x-6\\ 10\sqrt{x-6}=17\\ 100(x-6)=289\\ 100x-600=289\\ 100x=889\\ x=\frac{889}{100}$

Answer 2

1) Для решения данного уравнения, вначале упростим его:

√x = √(1-x) x = 1-x 2x = 1 x = 1/2

2) Упростим уравнение:

√(√x+2 + √(x-9)) = 2 √(√x+2 + √(x-9))^2 = 2^2 √(x+2 + 2√(x-9) + x-9) = 4 √(2x-7 + 2√(x-9)) = 4 2x-7 + 2√(x-9) = 16 2√(x-9) = 23 - 2x 4(x-9) = (23 - 2x)^2 4x-36 = 529 - 92x + 4x^2 4x^2 - 100x + 565 = 0

Далее можно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или других методов решения.

3) Упростим уравнение:

x-2/√(2x-7) = √(x-4) (x-2)^2/(2x-7) = x - 4 (x^2 - 4x + 4)/(2x-7) = x - 4 x^2 - 4x + 4 = (2x-7)(x-4) x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 15x + 28 x^2 - 11x + 24 = 0

Решим это квадратное уравнение.

4) Упростим уравнение:

√(x+2) + √(x-6) = 5 (√(x+2) + √(x-6))^2 = 5^2 (x+2) + 2√((x+2)(x-6)) + (x-6) = 25 2x + 2√(x^2 - 4x - 12) = 25 2√(x^2 - 4x - 12) = 25 - 2x 4(x^2 - 4x - 12) = (25 - 2x)^2 4x^2 - 16x - 48 = 625 - 100x + 4x^2 16x - 4x^2 = 625 - 48 + 100x - 4x^2 120x = 577 x = 577/120

Таким образом, мы решили все четыре иррациональных уравнения.