Question

Помогите решить!!! Буду благодарен 30 баллов за лучший ответ! Решите уравнение , запишите корни принадлежащие отрезку [-n;n] 2sinX-cosx/5sinx-4cosx=1/2

Answer 1

(2*sin(x) - cos(x)) /(5*sin(x) - 4*cos(x)) = 1/2 

4*sin(x) -  2*cos(x) = 5*sin(x) - 4*cos(x)

sin(x) - 2 * cos(x) = 0

tg(x) = 1/2

x = pi/4 + pi*k

не забываем ОДЗ!

5*sin(x) - 4*cos(x) != 0

tg(x) != 4/5

Найденные решения не пересекаются с ОДЗ

Осталось выбрать корни с нужного промежутка

 x = pi/4 + pi*k
 
k = -1

x = -3*pi/4

k = 0

x = pi/4

Все, т.е. два корня.

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[ \frac{2\sin(X) - \cos(X)}{5\sin(X) - 4\cos(X)} = \frac{1}{2} \]

Для начала, давайте приведем уравнение к более удобному виду. Умножим числитель и знаменатель на \( 2(5\sin(X) - 4\cos(X)) \), чтобы избавиться от дроби:

\[ 2\sin(X) - \cos(X) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot (5\sin(X) - 4\cos(X))) \]

Раскроем скобки:

\[ 2\sin(X) - \cos(X) = 5\sin(X) - 4\cos(X) \]

Теперь сложим \(\cos(X)\) с обеих сторон уравнения:

\[ 2\sin(X) = 5\sin(X) - 3\cos(X) \]

Выразим \(\cos(X)\):

\[ \cos(X) = \frac{5\sin(X) - 2\sin(X)}{3} \]

\[ \cos(X) = \frac{3\sin(X)}{3} \]

\[ \cos(X) = \sin(X) \]

Теперь мы знаем, что \(\cos(X) = \sin(X)\). Это выполняется в двух случаях:

1. Когда \(X\) - угол первой четверти (или его обратный угол во второй четверти), так как в этих случаях обе функции положительны. 2. Когда \(X\) - угол третьей четверти (или его обратный угол в четвертой четверти), так как в этих случаях обе функции отрицательны.

Таким образом, мы можем записать:

\[ X = \frac{\pi}{4} + k\pi \]

или

\[ X = \frac{3\pi}{4} + k\pi \]

где \( k \) - любое целое число. Теперь, чтобы удовлетворять условию отрезка \([-n; n]\), уточним значение \( n \). У нас есть два случая:

1. Если \( X = \frac{\pi}{4} + k\pi \), то для отрезка \([-n; n]\) нужно, чтобы \( \frac{\pi}{4} + k\pi \) лежало в пределах от \(-n\) до \(n\). Таким образом, \(-n \leq \frac{\pi}{4} + k\pi \leq n\).

2. Если \( X = \frac{3\pi}{4} + k\pi \), то для отрезка \([-n; n]\) нужно, чтобы \( \frac{3\pi}{4} + k\pi \) лежало в пределах от \(-n\) до \(n\). Таким образом, \(-n \leq \frac{3\pi}{4} + k\pi \leq n\).

Решив неравенства, мы сможем найти значения \( n \). Также, учтем, что \( k \) - целое число. Оставлю это вам как упражнение для выполнения.