Question

Решите пожалуйста неравенство f’(x)<0 f(x)=(4x-2)(x+2)^2

Answer 1

F'(x)=
$8(x + 2)$
$8(x + 2) < 0 \\ x + 2 < 0$
$( - \infty . - 2)$

Answer 2

Для решения данного неравенства нам потребуется найти производную функции f(x) и выяснить, при каких значениях x производная меньше нуля.

Нахождение производной функции f(x)

Для начала, мы должны раскрыть скобки и упростить выражение функции f(x):

f(x) = (4x-2)(x+2)^2 = (4x-2)(x^2 + 4x + 4)

Теперь, чтобы найти производную функции, мы можем использовать правила дифференцирования. Нам понадобятся правила производной произведения функций и правило производной степенной функции.

f'(x) = (4x-2)(2x+4) + (4)(x^2 + 4x + 4) = 8x^2 + 16x - 4x - 8 + 4x^2 + 16x + 16 = 12x^2 + 32x + 8

Анализ знаков производной

Теперь, чтобы решить неравенство f'(x) < 0, мы должны выяснить, при каких значениях x производная f'(x) отрицательна.

Для этого нам нужно найти корни квадратного трехчлена 12x^2 + 32x + 8 и анализировать знаки между корнями.

Для удобства, мы можем сократить выражение производной, поделив все его члены на 4:

f'(x) = 3x^2 + 8x + 2

Теперь можно воспользоваться методом анализа знаков, чтобы определить интервалы, на которых производная f'(x) меньше нуля.

1. Найдем корни квадратного трехчлена 3x^2 + 8x + 2:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(3)(2) = 64 - 24 = 40

Корни можно найти с помощью формулы квадратного корня:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-8 ± √40) / (2*3) x = (-8 ± 2√10) / 6 x = (-4 ± √10) / 3

Таким образом, корни квадратного трехчлена 3x^2 + 8x + 2 равны (-4 + √10) / 3 и (-4 - √10) / 3.

2. Теперь анализируем знаки между корнями и за пределами:

| x | (-∞, (-4 - √10) / 3) | ((-4 - √10) / 3, (-4 + √10) / 3) | ((-4 + √10) / 3, +∞) | |:---------:|:-------------------:|:-------------------------------:|:-------------------:| | f'(x) < 0 | + | - | + |

Таким образом, производная f'(x) меньше нуля на интервале ((-4 - √10) / 3, (-4 + √10) / 3).

Вывод

Решением неравенства f'(x) < 0 для функции f(x) = (4x-2)(x+2)^2 является интервал ((-4 - √10) / 3, (-4 + √10) / 3). На этом интервале производная функции меньше нуля.