Question

ПРОШУ ПОМОЧЬ, ОЧЕНЬ СРОЧНО, ОЧЕНЬ ВАЖНО. Sin^2x-sin2x-8cos^2x>=0, если x принадлежит[0;2пи]

Answer 1

Sin²x-2sinxcosx-8cos²x≥0/cos²x≠0
tg²x-2tgx-8≥0
tgx=a
a²-2a-8≥0
a1+a2=2 U a1*a2=-8
a1=-2 U a2=4
a≤-2⇒tgx≤-2⇒x∈(-π/2+πn;-arctg2+πn]
a≥4⇒tgx≥4⇒x∈[arctg4+πn;π/2+πn)
x={arctg4;π-arctg2;π+arctg4;2π-arctg2}

Answer 2

Рассмотрим уравнение sin^2(x) - sin(2x) - 8cos^2(x) ≥ 0 на интервале [0, 2π].

Для начала, давайте заметим, что у нас есть как синус, так и косинус в данном уравнении. Чтобы упростить его, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Тригонометрические тождества: 1. sin^2(x) + cos^2(x) = 1 2. sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Используя эти тождества, мы можем преобразовать уравнение:

sin^2(x) - sin(2x) - 8cos^2(x) ≥ 0 sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 8cos^2(x) ≥ 0

Затем, мы можем преобразовать это уравнение ещё больше, выделив sin(x) и cos(x):

(sin^2(x) - 8cos^2(x)) - 2sin(x)cos(x) ≥ 0 (1 - 9cos^2(x)) - 2sin(x)cos(x) ≥ 0 1 - 9cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) ≥ 0

Теперь, давайте рассмотрим каждое слагаемое в отдельности и посмотрим на их знаки.

1) 1 - 9cos^2(x) Заметим, что это выражение всегда положительное, так как cos^2(x) всегда меньше или равно 1. Таким образом, оно не влияет на знак всего уравнения.

2) -2sin(x)cos(x) Это выражение может быть отрицательным или нулевым, в зависимости от значения x.

Теперь, давайте рассмотрим различные комбинации знаков и определим, когда уравнение будет выполняться.

Случай 1: -2sin(x)cos(x) > 0 Если -2sin(x)cos(x) > 0, то это означает, что sin(x) и cos(x) имеют разные знаки. Такое возможно только в двух случаях: - sin(x) > 0 и cos(x) < 0 - sin(x) < 0 и cos(x) > 0

Случай 2: -2sin(x)cos(x) = 0 Если -2sin(x)cos(x) = 0, то это означает, что один из синуса или косинуса равен нулю. Это возможно в следующих случаях: - sin(x) = 0 (x = 0, π, 2π) - cos(x) = 0 (x = π/2, 3π/2)

Случай 3: -2sin(x)cos(x) < 0 Если -2sin(x)cos(x) < 0, то это означает, что sin(x) и cos(x) имеют одинаковые знаки. Такое возможно только в двух случаях: - sin(x) > 0 и cos(x) > 0 - sin(x) < 0 и cos(x) < 0

Теперь, сочетая все случаи, мы можем определить интервалы, на которых исходное уравнение выполняется.

Случай 1: sin(x) > 0 и cos(x) < 0 На этом интервале выполняется -2sin(x)cos(x) > 0, а значит, нам необходимо, чтобы выражение 1 - 9cos^2(x) было неотрицательным: 1 - 9cos^2(x) ≥ 0 9cos^2(x) - 1 ≤ 0 cos^2(x) ≤ 1/9 |cos(x)| ≤ 1/3

Таким образом, на этом интервале выполняется sin(x) > 0 и |cos(x)| ≤ 1/3.

Случай 2: sin(x) < 0 и cos(x) > 0 На этом интервале также выполняется -2sin(x)cos(x) > 0, а значит, нам снова необходимо, чтобы выражение 1 - 9cos^2(x) было неотрицательным: 1 - 9cos^2(x) ≥ 0 9cos^2(x) - 1 ≤ 0 cos^2(x) ≤ 1/9 |cos(x)| ≤ 1/3

Таким образом, на этом интервале выполняется sin(x) < 0 и |cos(x)| ≤ 1/3.

Случай 3: sin(x) = 0 На этом интервале выполняется sin(x) = 0, а значит, нам необходимо, чтобы выражение 1 - 9cos^2(x) было неотрицательным: 1 - 9cos^2(x) ≥ 0 9cos^2(x) - 1 ≤ 0 cos^2(x) ≤ 1/9 |cos(x)| ≤ 1/3

Таким образом, на этом интервале выполняется sin(x) = 0 и |cos(x)| ≤ 1/3.

Таким образом, мы получили, что исходное уравнение sin^2(x) - sin(2x) - 8cos^2(x) ≥ 0 выполняется на интервалах, где:

- sin(x) > 0 и |cos(x)| ≤ 1/3 - sin(x) < 0 и |cos(x)| ≤ 1/3 - sin(x) = 0 и |cos(x)| ≤ 1/3

На интервале [0, 2π] это означает, что уравнение выполняется на следующих интервалах:

- [0, π/6] - (2π/3, π] - [5π/6, 7π/6] - (4π/3, 11π/6] - [23π/6, 2π]

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, дайте знать!