Question

Найти все трехзначные натуральные числа,которые уменьшаются ровно в 7 раз при вычеркивании средней цифры.

Answer 1

Представим трехзначное число в виде

100а+ 10b + с.

При вычеркивании средней цифры имеем следующее:

10а + с

Причем по условию:

100а+10b+c=7*(10a+c)

Приведем это Диофантово уравнение к более удобному виду:

100a+10b+c=70a+7c

30a+10b=6c

15a+5b=3c

разделим обе части на 15

а+b/3=c/5

 

Следовательно, т.к. 3 и 5 - взаимно простые,

- b должно быть кратно 3

- с должно быть кратно 5

- а равно с/5 - b/3

(заметим, что 0 - кратное любой цифре. НО - а не равно нулю, т.к. в этом случае имеем двузначное число. Следовательно, с тоже не может быть нулем, иначе а обращается в 0)

Итак:

с = 5 - без вариантов;

b= 0; 3; 6 или 9

а - вычислим:

 

с=5 b=0 => a= 5/5 - 0/3 = 1

c=5 b=3 => a= 5/5 - 3/3 = 0 - не подходит, потому что ане может быть равным нулю ( получаем двузначное число)

При b=6, b=9  => a= -1 и а= -2, что невозможно по условиям задачи.

 

Отсюда - один вариант ответа:

a= 1 b=0 с=5

 

То есть, ОТВЕТ - 105. Других чисел нет.

(проверка: 105/7 = 15 - что и требовалось в условии)

 

 

 

Answer 2

Для решения этой задачи давайте представим трехзначное число в виде \(ABC\), где \(A\), \(B\) и \(C\) - это цифры числа. Тогда число можно записать как \(100A + 10B + C\).

Условие задачи говорит о том, что число уменьшается в 7 раз при вычеркивании средней цифры \(B\), то есть при этом действии остаётся только первая и последняя цифры: \(AC\).

Согласно условию, мы знаем, что:

\[100A + 10B + C = 7 \cdot (10A + C)\]

Теперь давайте разберёмся с этим уравнением и найдем все трехзначные числа, удовлетворяющие данному условию.

Уравнение можно переписать в виде:

\[100A + 10B + C = 70A + 7C\] \[30A = 7C - 10B\]

Так как \(A\), \(B\) и \(C\) - цифры, они должны принимать значения от 0 до 9. Более того, мы ищем трёхзначные числа, поэтому \(A\) не может быть равным 0.

Теперь переберем возможные значения для \(A\), \(B\) и \(C\) и проверим, выполняется ли условие \(30A = 7C - 10B\):

1. Пусть \(A = 1\). Тогда у нас имеем \(30 = 7C - 10B\). Подходящими значениями будут \(B = 9\) и \(C = 6\). 2. Пусть \(A = 2\). Тогда у нас имеем \(60 = 7C - 10B\). Здесь нет подходящих целых значений для \(B\) и \(C\). 3. Пусть \(A = 3\). Тогда у нас имеем \(90 = 7C - 10B\). Тут также нет целых значений для \(B\) и \(C\).

Таким образом, единственным трехзначным числом, которое уменьшается в 7 раз при вычеркивании средней цифры, является число 196 (при \(A = 1\), \(B = 9\) и \(C = 6\)).