Question

16^x+12^x-2*9^x ≤0 Полностью решение нужно

Answer 1

Разделим на 9^x
(4/3)^2x+(4/3)^x-2≤0
(4/3)^x=a
a²+a-2≤0
a1+a2=-1 U a1*a2=-2
a1=-2 U a2=1
-2≤a≤1
-2≤(4/3)^x≤1
x≤0
x∈(-∞;0]

Answer 2

Давай решим это неравенство. У нас есть \(16^x + 12^x - 2 \cdot 9^x \leq 0\). Для удобства, представим некоторые из этих чисел в другом виде:

\(16 = 4^2\) \(12 = 4 \cdot 3\) \(9 = 3^2\)

Теперь подставим их обратно в неравенство:

\((4^2)^x + (4 \cdot 3)^x - 2 \cdot (3^2)^x \leq 0\)

Это превращается в:

\(4^{2x} + 4^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^{2x} \leq 0\)

Представим \(4\) и \(3\) в виде базиса, чтобы упростить выражение:

\((2^2)^{2x} + 4^x \cdot 3^x - 2 \cdot (3^2)^x \leq 0\)

Это становится:

\(2^{4x} + 4^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^{2x} \leq 0\)

Теперь давайте воспользуемся заменой переменной. Представим \(2^x\) как новую переменную, скажем \(u\). Тогда \(2^{4x} = u^4\).

Наше уравнение теперь выглядит так:

\(u^4 + (u^2 \cdot 3^x) - 2 \cdot 3^{2x} \leq 0\)

Теперь введём другую переменную: \(v = u^2\). Тогда \(u^4 = v^2\). Подставим это обратно:

\(v^2 + (v \cdot 3^x) - 2 \cdot 3^{2x} \leq 0\)

Это квадратное уравнение относительно переменной \(v\). Мы можем решить его, предположив, что \(3^x = t\):

\(t^2 + vt - 2t^2 \leq 0\)

Упростим:

\(-t^2 + vt + t^2 \leq 0\)

\(vt \leq 0\)

Итак, у нас \(vt \leq 0\). Мы знаем, что \(v = u^2\) и \(t = 3^x\). Таким образом, \(u^2 \cdot 3^x \leq 0\).

Чтобы это неравенство выполнялось, \(u\) должно быть не положительным числом, так как \(3^x\) всегда положительно. Таким образом, \(u^2\) также должно быть не положительным числом. То есть \(u\) должно быть равным нулю.

Исходное уравнение \(16^x + 12^x - 2 \cdot 9^x \leq 0\) выполняется, когда \(x = 0\), так как в этом случае \(u = 2^0 = 1\) и \(1^2 = 1 \cdot 3^0 = 1\), что соответствует нашему условию.

Таким образом, решение неравенства \(16^x + 12^x - 2 \cdot 9^x \leq 0\) - это \(x = 0\).