Question

Сформулировать и доказать теорему Пифагора

Answer 1

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов . в прямоугольном треугольнике .

Answer 2

Теорема Пифагора - это одна из основных теорем в геометрии, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Сформулируем и докажем эту теорему.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполняется следующее равенство: \[a^2 + b^2 = c^2.\]

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C является прямым углом, а стороны треугольника обозначены следующим образом: \(a\) - длина стороны AC, \(b\) - длина стороны BC, \(c\) - длина гипотенузы AB.

Мы знаем из определения прямоугольного треугольника, что угол C равен 90 градусам.

Теперь мы можем использовать определение квадрата числа. Площадь квадрата со стороной \(a + b\) равна сумме площадей квадратов со сторонами \(a\) и \(b\). Математически это выглядит следующим образом: \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\]

С другой стороны, площадь прямоугольника ABC также можно выразить как сумму площадей квадратов ACDE и BCFH, где D и H - это точки на сторонах AC и BC, соответственно. Площадь этого прямоугольника равна произведению длин сторон AC и BC, то есть \(c \cdot c = c^2\).

Таким образом, мы можем записать: \[(a + b)^2 = c^2.\]

Раскроем скобки в левой части уравнения: \[a^2 + 2ab + b^2 = c^2.\]

Теперь вычтем \(2ab\) из обеих сторон уравнения: \[a^2 + b^2 = c^2.\]

Таким образом, мы доказали теорему Пифагора.

Это классическое доказательство является одним из многих способов доказательства теоремы Пифагора. Существует несколько других подходов, включая геометрические, алгебраические и тригонометрические доказательства.