Question

Помогите решить диф уравнени: y'' -7y' = (x-5)^2

Answer 1

Найдём дополнительное решение уравнения: y''-7y'=0
$\frac{d^2y}{dx^2} -7 \frac{dy}{dx} =0$
Предположим, что наше решение будет пропорционально$e^{kx}$, где $k-const$
$\frac{d^2(e^{kx})}{dx^2} -7 \frac{d(e^{kx})}{dx} =0$
Получаем уравнение:
 $k^2e^{kx}-7ke^{kx}=0\\ke^{kx}(k-7)=0\\k_1=0;\,\,\,\.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k_2=7$
При $k=0$ имеем константу $c_1$
При $k=7$ имеем $c_2e^{7x}$

Теперь найдем решение уравнения
$\frac{d^2y}{dx^2}-7 \frac{dy}{dx} =25-10x+x^2$
$y=a_1+a_2x^2+a_3x^3$, тоесть
 $\frac{d(a_1x+a_2x^2+a_3x^3)}{dx} -7 \frac{d^2(a_1x+a_2x^2+a_3x^3)}{dx^2} =25-10x+x^2\\2a_2+6a_3x-7a_1-14a_2x-21a_3x^2=25-10x+x^2\\ -21a_3x^2+(6a_3-14a_2)x+(2a_2-7a_1)=x^2-10x+25$

$2a_2-7a_1=25\\6a_3-14a_2=-10\\-21a_3=1$
Решая эту систему, мы получим:
$a_3=- \frac{1}{21} \\ a_2= \frac{34}{39} \\a_1=- \frac{1157}{343}$

Общее решение:
 $y=- \frac{x^3}{21}+ \frac{34x^2}{49} - \frac{1157x}{343}+c_1+c_2e^{7x}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод вариации постоянной. Для начала, найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y'' - 7y' = 0.

Характеристическое уравнение данного однородного уравнения имеет вид: r^2 - 7r = 0.

Факторизуем это уравнение: r(r - 7) = 0.

Таким образом, имеем два корня: r1 = 0 и r2 = 7.

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: y_h = C1*e^(0*x) + C2*e^(7*x), где С1 и С2 - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть равна (x - 5)^2, предположим, что частное решение имеет вид y_p = A*(x - 5)^2, где А - неизвестная постоянная.

Вычислим производные y_p: y_p' = 2A*(x - 5), y_p'' = 2A.

Подставим эти значения в исходное уравнение: 2A - 7*(2A*(x - 5)) = (x - 5)^2.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 2A - 14Ax + 70A = x^2 - 10x + 25.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений: -14A = -10, 2A + 70A = 25.

Решая данную систему, найдем значение А: A = -10/-14 = 5/7.

Таким образом, частное решение имеет вид: y_p = (5/7)*(x - 5)^2.

Суммируя общее и частное решения, получим окончательное решение исходного дифференциального уравнения: y = y_h + y_p = C1*e^(0*x) + C2*e^(7*x) + (5/7)*(x - 5)^2.

Таким образом, это является общим решением данного дифференциального уравнения.