Question

Даю 40 балов! Учащиеся одного класса написали контрольную работу по математике. Треть из них неверно решила по 1 задаче, четвёртая часть класса неверно решила по 2 задаче, 1/6 по 3 задачи и 1/8 неверно решила все 4 задачи. Сколько учеников правильно решили все задачи, если в классе не более 30 человек?

Answer 1

______________________________

Answer 2

Давайте обозначим общее количество учеников в классе за N.

По условию задачи:

- Треть из них неверно решила первую задачу, то есть \( \frac{1}{3}N \) человек. - Четвёртая часть класса неверно решила вторую задачу, то есть \( \frac{1}{4}N \) человек. - \( \frac{1}{6} \) часть класса неверно решила третью задачу, то есть \( \frac{1}{6}N \) человек. - \( \frac{1}{8} \) часть класса неверно решила все четыре задачи, то есть \( \frac{1}{8}N \) человек.

Теперь давайте рассмотрим количество учеников, которые неверно решили хотя бы одну задачу. Мы можем воспользоваться принципом включения и исключения:

\[ \text{Неверно решившие хотя бы одну задачу} = \frac{1}{3}N + \frac{1}{4}N + \frac{1}{6}N - \frac{1}{8}N \]

Теперь найдем количество учеников, которые правильно решили все задачи. Общее количество учеников, которые правильно решили хотя бы одну задачу, равно \( N - (\text{Неверно решившие хотя бы одну задачу}) \). Следовательно, количество учеников, правильно решивших все задачи, это разность между общим числом учеников и теми, кто ошибся хотя бы в одной задаче:

\[ \text{Правильно решившие все задачи} = N - \left( \frac{1}{3}N + \frac{1}{4}N + \frac{1}{6}N - \frac{1}{8}N \right) \]

Условие задачи также указывает, что в классе не более 30 человек:

\[ N \leq 30 \]

Теперь мы можем использовать это условие для нахождения возможных значений N и далее вычислить количество учеников, которые правильно решили все задачи.

\[ \text{Правильно решившие все задачи} = N - \left( \frac{1}{3}N + \frac{1}{4}N + \frac{1}{6}N - \frac{1}{8}N \right) \]

\[ \text{Правильно решившие все задачи} = N - \left( \frac{8 + 6 + 4 - 3}{24}N \right) \]

\[ \text{Правильно решившие все задачи} = N - \left( \frac{15}{24}N \right) \]

\[ \text{Правильно решившие все задачи} = N - \frac{5}{8}N \]

\[ \text{Правильно решившие все задачи} = \frac{3}{8}N \]

Теперь подставим условие \( N \leq 30 \):

\[ \frac{3}{8}N \leq 30 \]

\[ N \leq \frac{240}{3} \]

\[ N \leq 80 \]

Итак, общее количество учеников в классе не превышает 80, и мы можем рассмотреть возможные значения N от 1 до 80, чтобы определить, сколько учеников правильно решили все задачи.