Question

Сколько натуральных трехзначных чисел не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 19?

Answer 1

1. Найдем сколько чисел делится 3: пусть k - натуральное число, тогда
100<=3k=<999, откуда 34=<k=<333, то есть таких чисел 333-34+1=300
2. Найдем сколько чисел делится 5: пусть k - натуральное число, тогда
100<=5k=<999, откуда 20=<k=<199, то есть таких чисел 199-20+1=180
3. Найдем сколько чисел делится 19: пусть k - натуральное число, тогда
100<=19k=<999, откуда 6=<k=<52, то есть таких чисел 52-6+1=47
4. Найдем сколько чисел делится и на 3 и на 5: пусть k - натуральное число, тогда 100<=15k=<999, откуда 7=<k=<66, то есть таких чисел 66-7+1=60
5. Найдем сколько чисел делится и на 3 и на 19: пусть k - натуральное число, тогда 100<=57k=<999, откуда 2=<k=<17, то есть таких чисел 17-2+1=16.
6.Найдем сколько чисел делится и на 5 и на 19: пусть k - натуральное число, тогда 100<=95k=<999, откуда 2=<k=<10, то есть таких чисел 10-2+1=9
7. Найдем сколько чисел делится и на 3 и на 5 и на 19: пусть k - натуральное число, тогда 100<=285k=<999, откуда 1=<k=<3, то есть таких чисел 3-1+1=3

Чисел, которые  делятся  или на 3,  или на 5,  или на 19: 300+180+47 = 527, но некоторые числа, которые делятся и на 3 и на 5, на 3 и на 19, на 5 и 19 посчитаны дважды, таких чисел 60+16+9 = 85, а некоторые числа делятся и на 3 и на 5 и на 19 -  таких чисел 3, они подсчитаны трижды
Всего трехзначных чисел: 999-100+1 = 900 Поэтому чисел, которые ни делятся ни на 3, ни на 5, ни на 19: 900-527+85-2*3 = 452

Answer 2

Для нахождения количества натуральных трехзначных чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 19, давайте рассмотрим, какие числа удовлетворяют этим условиям.

1. Не делятся на 3: Трехзначные числа, не делящиеся на 3, имеют остаток 1 или 2 при делении на 3.

2. Не делятся на 5: Трехзначные числа, не делящиеся на 5, не оканчиваются на 0 или 5.

3. Не делятся на 19: Трехзначные числа, не делящиеся на 19, не имеют остатка 0 при делении на 19.

Теперь рассмотрим каждое из этих условий:

1. Трехзначные числа, не делящиеся на 3, могут иметь остаток 1 или 2 при делении на 3. Остаток 0 исключается, так как трехзначные числа всегда делятся на 3, если сумма их цифр делится на 3.

2. Трехзначные числа, не делящиеся на 5, не оканчиваются на 0 или 5.

3. Трехзначные числа, не делящиеся на 19, не имеют остатка 0 при делении на 19.

Теперь соединим эти условия:

- Условие 1 оставляет два варианта для последней цифры (остаток 1 или 2 при делении на 3). - Условие 2 уменьшает количество вариантов для последней цифры до восьми (все цифры, кроме 0 и 5). - Условие 3 уменьшает количество вариантов для последних двух цифр до 18 (все цифры от 1 до 9).

Таким образом, общее количество трехзначных чисел, удовлетворяющих всем условиям, равно 2 (для остатка при делении на 3) * 8 (для остатка при делении на 5) * 18 (для остатка при делении на 19) = 288.