Question

Sina+2sin3a+sin5a=4sin3asos²a докажите тождевство

Answer 1

sina/(1-cosa)=(1+cosa)/sina
sin^2a=(1-cosa)(1+cosa)
1-cos^2a=(1-cosa)(1+cosa)
(1-cosa)(1+cosa)=(1-cosa)(1+cosa)

Answer 2

Чтобы доказать данное тождество \(2\sin(3a) + \sin(5a) = 4\sin(3a)\sin^2(a)\), давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Для удобства, обозначим \(\sin(a) = x\). Тогда \(\sin(3a) = 3x - 4x^3\) и \(\sin(5a) = 5x - 20x^3 + 16x^5\).

Теперь подставим эти значения в левую часть уравнения:

\[2(3x - 4x^3) + (5x - 20x^3 + 16x^5) = 6x - 8x^3 + 5x - 20x^3 + 16x^5 = 11x - 28x^3 + 16x^5\]

Теперь факторизуем общий множитель:

\[11x - 28x^3 + 16x^5 = x(11 - 28x^2 + 16x^4)\]

Теперь вспомним, что мы обозначили \(x = \sin(a)\). Таким образом, мы можем вернуться к исходным переменным:

\[x(11 - 28x^2 + 16x^4) = \sin(a)(11 - 28\sin^2(a) + 16\sin^4(a))\]

Теперь заметим, что \(\sin^2(a)\) можно заменить на \(1 - \cos^2(a)\) с использованием тригонометрического тождества \(\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1\). Тогда:

\[= \sin(a)(11 - 28(1 - \cos^2(a)) + 16(1 - \cos^2(a))^2)\]

Раскрываем скобки:

\[= \sin(a)(11 - 28 + 28\cos^2(a) + 16(1 - 2\cos^2(a) + \cos^4(a)))\]

\[= \sin(a)( - 17 + 28\cos^2(a) + 16 - 32\cos^2(a) + 16\cos^4(a))\]

\[= \sin(a)( - 1 - 32\cos^2(a) + 28\cos^2(a) + 16\cos^4(a))\]

\[= \sin(a)( - 1 - 4\cos^2(a) + 16\cos^4(a))\]

Теперь заметим, что \(\cos^2(a)\) можно заменить на \(1 - \sin^2(a)\) с использованием того же тригонометрического тождества:

\[= \sin(a)( - 1 - 4(1 - \sin^2(a)) + 16\sin^4(a))\]

\[= \sin(a)( - 5 + 4\sin^2(a) + 16\sin^4(a))\]

Теперь заметим, что \(4\sin^2(a)\) можно заменить на \(\sin(2a)\) с использованием тригонометрического тождества \(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\):

\[= \sin(a)( - 5 + \sin(2a) + 16\sin^4(a))\]

Теперь заменяем \(\sin^4(a)\) на \((\sin^2(a))^2\):

\[= \sin(a)( - 5 + \sin(2a) + 16(\sin^2(a))^2)\]

Теперь заменяем \((\sin^2(a))^2\) на \((1 - \cos^2(a))^2\) снова используя тригонометрическое тождество:

\[= \sin(a)( - 5 + \sin(2a) + 16(1 - \cos^2(a))^2)\]

Раскрываем скобки:

\[= \sin(a)( - 5 + \sin(2a) + 16(1 - 2\cos^2(a) + \cos^4(a)))\]

\[= \sin(a)( - 5 + \sin(2a) + 16 - 32\cos^2(a) + 16\cos^4(a))\]

\[= \sin(a)(11 - 32\cos^2(a) + 16\cos^4(a) + \sin(2a))\]

Теперь заметим, что \(32\cos^2(a)\) можно заменить на \(32 - 32\sin^2(a)\) с использованием того же тригонометрического тождества:

\[= \sin(a)(11 - 32 + 32\sin^2(a) + 16\cos^4(a) + \sin(2a))\]

\[= \sin(a)( - 21 + 32\sin^2(a) + 16\cos^4(a) + \sin(2a))\]

Теперь заметим, что \(16\cos^4(a)\) можно заменить на \(16(1 - \sin^2(a))^2\) с использованием тригонометрического тождества:

\[= \sin(a)( - 21 + 32\sin^2(a) + 16(1 - \sin^2(a))^2 + \sin(2a))\]

Раскрываем скобки:

\[= \sin(a)( - 21 + 32\sin^2(a) + 16 - 32\sin^2(a) + 16\sin^4(a) + \sin(2a))\]

\[= \sin(a)( - 5 + 16\sin^4(a) + \sin(2a))\]

Теперь заметим, что \(16\sin^4(a)\) можно заменить на \((\sin^2(a))^2\) с использованием тригонометрического тождества:

\[= \sin(a)( - 5 + (\sin^2(a))^2 + \sin(2a))\]

\[= \sin(a)(\sin^2(a