Question

Боковая сторона равнобедренной трапеции в три раза длиннее меньшего основания. Биссектрисы тупых углов этой трапеции пересекаются в точке, лежащей на основании. Найти отношение площади трапеции к площади треугольника, образованного меньшим основанием и биссектрисы

Answer 1

Биссектрисы разобьют трапецию на три равнобедренных треугольника, 
два из которых будут равны (по двум сторонам и углу между ними: AB=CD по условию, АВ=АМ из равенства накрест лежащих углов),
а третий будет подобен двум равным))

Answer 2

Пусть \(ABCD\) - равнобедренная трапеция, где \(AB\) и \(CD\) - основания, \(BC\) и \(AD\) - боковые стороны, и \(M\) - точка пересечения биссектрис углов \(BCD\) и \(CAB\).

Также пусть \(AB = x\) - меньшее основание, тогда \(CD = 3x\) - боковая сторона.

Так как \(ABCD\) - равнобедренная трапеция, то \(BC = AD\). Обозначим эту длину как \(a\).

Также из условия известно, что биссектрисы углов \(BCD\) и \(CAB\) пересекаются в точке \(M\), принадлежащей основанию \(AB\). Обозначим длины отрезков как \(AM = a_1\) и \(BM = a_2\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BMD\). По теореме о биссектрисе:

\[\frac{BD}{BM} = \frac{CD}{CM}.\]

Подставим известные значения:

\[\frac{a + 3x}{a_2} = \frac{3x}{a_1}.\]

Аналогично, рассмотрим треугольник \(AMC\):

\[\frac{AC}{AM} = \frac{BC}{BM}.\]

Подставим известные значения:

\[\frac{a + 2a_1}{a_1} = \frac{a}{a_2}.\]

Теперь решим эту систему уравнений относительно \(a_1\) и \(a_2\). Из первого уравнения выразим \(a_1\):

\[a_1 = \frac{3x \cdot a_2}{a + 3x}.\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[\frac{a + 2 \cdot \frac{3x \cdot a_2}{a + 3x}}{\frac{3x \cdot a_2}{a + 3x}} = \frac{a}{a_2}.\]

Упростим и решим уравнение:

\[\frac{a(a + 3x)}{3x} = \frac{a}{a_2}.\]

Сократим \(a\) и перемножим:

\[\frac{a + 3x}{3x} \cdot a_2 = a.\]

Раскроем скобки:

\[a_2 + \frac{a}{3x} \cdot a_2 = a.\]

Упростим:

\[a_2 + \frac{a^2}{3x} = a.\]

Переносим члены уравнения:

\[a_2 = a - \frac{a^2}{3x}.\]

Теперь, зная \(a_2\), можем выразить \(a_1\):

\[a_1 = \frac{3x \cdot a_2}{a + 3x}.\]

Подставим найденное значение \(a_2\):

\[a_1 = \frac{3x \cdot (a - \frac{a^2}{3x})}{a + 3x}.\]

Упростим:

\[a_1 = \frac{3ax - a^2}{a + 3x}.\]

Теперь у нас есть выражения для \(a_1\) и \(a_2\). Мы знаем, что точка \(M\) лежит на отрезке \(AB\), поэтому \(a_1 + a_2 = x\). Подставим найденные значения и решим уравнение относительно \(a\):

\[\frac{3ax - a^2}{a + 3x} + a - \frac{a^2}{3x} = x.\]

Упростим и решим уравнение. Полученное значение \(a\) позволит нам найти отношение площадей трапеции и треугольника.

Площадь трапеции выражается формулой:

\[S_{\text{трапеции}} = \frac{a + 3x}{2} \cdot h,\]

где \(h\) - высота трапеции. Высота можно найти, используя треугольник \(ABC\), например, как \(h = \sqrt{BC^2 - (\frac{a}{2})^2}\).

Площадь треугольника выражается формулой:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h_{\text{треугольника}},\]

где \(h_{\text{треугольника}}\) - высота треугольника.

Таким образом, отношение площадей трапеции и треугольника будет:

\[\frac{S_{\text{трапеции}}}{S_{\text{треугольника}}} = \frac{\frac{a + 3x}{2} \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot x \cdot h_{\text{треугольника}}}.\]

Подставим известные значения и найдем окончательный ответ.