Question

Помогите с тригонометрическим уравнением,пожалуйста : (sinx+1)/(1-cos2x)=(sinx+1)/(1-sinx)

Answer 1

ОДЗ:
$1 - cos2x \neq 0 \\ cos2x \neq 1 \\ 2x \neq 2 \pi n, \ n \in Z \\ x \neq \pi n, n \in Z \\ \\1 - sinx \neq 0 \\ sinx \neq 1 \\ x \neq \dfrac{ \pi }{2} + 2 \pi n, \ n \in Z$

$\dfrac{sinx + 1}{1 - cos2x} = \dfrac{sinx + 1}{1 - sinx} \\ \\ (sinx + 1)(1 - sinx) = (1 - cos2x)(sinx + 1) \\ (sinx + 1)(1 - sinx) - (1 - cos2x)(sinx + 1) = 0 \\ (sinx + 1)(1 - sinx - 1 + cos2x) = 0 \\ (sinx + 1)(cos2x - sinx) = 0$
$sinx = -1 \\ \boxed{ x = - \frac{ \pi }{2} + 2 \pi n , \ n \in Z} \\ \\ cos2x - sinx = 0 \\ 1 - 2sin^2x - sinx = 0 \\ 2sin^2x + sinx - 1 = 0$
Пусть $t = sinx, \ t \in [-1; 0) \ u \ (0; 1)$
$2t^2 + t - 1 = 0 \\ D = 1 + 2 \cdot 4 = 9 = 3^2 \\ \\ t_1 = \dfrac{-1 + 3}{4} = \dfrac{1}{2} \\ \\ t_2 = \dfrac{-1 - 3}{4} = -1$
Обратная замена:
$sinx = \dfrac{1}{2} \\ \\ \boxed{x = (-1)^{n} \dfrac{ \pi }{6} + \pi n, \ n \in Z}$

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим данное тригонометрическое уравнение:

\[\frac{\sin(x) + 1}{1 - \cos(2x)} = \frac{\sin(x) + 1}{1 - \sin(x)}.\]

Для начала, давайте упростим числитель и знаменатель в обеих дробях:

1. Числитель:

\[\sin(x) + 1.\]

2. Знаменатель:

\[\begin{align*} &1 - \cos(2x) \quad \text{и} \quad 1 - \sin(x). \end{align*}\]

Теперь посмотрим на уравнение:

\[\frac{\sin(x) + 1}{1 - \cos(2x)} = \frac{\sin(x) + 1}{1 - \sin(x)}.\]

Первым шагом рассмотрим знаменатель. Поскольку у нас есть разные знаменатели, давайте попробуем привести их к общему знаменателю.

Общий знаменатель для \(1 - \cos(2x)\) и \(1 - \sin(x)\) будет \((1 - \cos(2x))(1 - \sin(x))\). Теперь умножим числитель и знаменатель обеих сторон уравнения на этот общий знаменатель:

\[\frac{\sin(x) + 1}{1 - \cos(2x)} \cdot \frac{(1 - \cos(2x))(1 - \sin(x))}{(1 - \cos(2x))(1 - \sin(x))} = \frac{\sin(x) + 1}{1 - \sin(x)} \cdot \frac{(1 - \cos(2x))(1 - \sin(x))}{(1 - \cos(2x))(1 - \sin(x))}.\]

Теперь можно упростить уравнение, умножив числители:

\[\frac{(\sin(x) + 1)(1 - \cos(2x))(1 - \sin(x))}{(1 - \cos(2x))(1 - \sin(x))} = \frac{(\sin(x) + 1)(1 - \cos(2x))(1 - \sin(x))}{(1 - \sin(x))(1 - \cos(2x))}.\]

Теперь мы видим, что общий знаменатель есть, и его можно сократить с обеих сторон уравнения:

\[\sin(x) + 1 = \sin(x) + 1.\]

Это тождественное уравнение, что означает, что любое значение \(x\) будет удовлетворять данному уравнению.

Таким образом, уравнение \(\frac{\sin(x) + 1}{1 - \cos(2x)} = \frac{\sin(x) + 1}{1 - \sin(x)}\) верно для любых значений \(x\).