Question

Неопределённый интеграл. ∫e^(2sinx)*cosxdx

Answer 1

∫e^(2sin(x))*cos(x) dx
u=2sin(x)
du=2cos(x)dx
1/2∫e^u du = (e^u)/2 + C
∫e^(2sin(x))*cos(x) dx = 1/2*e^(2sin(x)) + C

Answer 2

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратный корень

sqrt(x)/(x + 1)

Кубический корень

cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

x*arcsin(x)

Арккосинус

x*arccos(x)

Применение логарифма

x*log(x, 10)

Натуральный логарифм

ln(x)/x

Экспонента

exp(x)*x

Тангенс

tg(x)*sin(x)

Котангенс

ctg(x)*cos(x)

Иррациональне дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

x*arctg(x)

Арккотангенс

x*arсctg(x)

Гиберболические синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболические тангенс и котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболические арксинус и арккосинус

x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Answer 3

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям.

Пусть u = e^(2sinx) и dv = cosxdx. Тогда du = 2e^(2sinx)*cosxdx и v = sinx.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫e^(2sinx)*cosxdx = u*v - ∫v*du

= e^(2sinx)*sinx - ∫sinx*2e^(2sinx)*cosxdx

= e^(2sinx)*sinx - 2∫sinx*e^(2sinx)*cosxdx

Мы получили новый интеграл, который имеет такой же вид, как и исходный.

Повторяя процесс интегрирования по частям, мы можем продолжать уменьшать степень экспоненты и получать новые интегралы.

В итоге, после нескольких шагов, мы получим:

∫e^(2sinx)*cosxdx = e^(2sinx)*sinx - 2e^(2sinx)*cosx + 4∫e^(2sinx)*cosxdx

Теперь мы можем перенести все интегралы на одну сторону:

∫e^(2sinx)*cosxdx - 4∫e^(2sinx)*cosxdx = e^(2sinx)*sinx - 2e^(2sinx)*cosx

Выражая ∫e^(2sinx)*cosxdx через e^(2sinx)*sinx - 2e^(2sinx)*cosx, получаем:

-3∫e^(2sinx)*cosxdx = e^(2sinx)*sinx - 2e^(2sinx)*cosx

Делим обе части на -3:

∫e^(2sinx)*cosxdx = -(e^(2sinx)*sinx - 2e^(2sinx)*cosx)/3

Таким образом, неопределенный интеграл от функции e^(2sinx)*cosxdx равен -(e^(2sinx)*sinx - 2e^(2sinx)*cosx)/3 + C, где C - произвольная постоянная.