Question

Найти определенный интеграл: интеграл от П до 0 выражения (х-3)*sin2xdx

Answer 1

$\int\limits^{\pi}_0 (x-3)sin2x\, dx=[\; u=x-3\; ,\; du=dx\; ,\; dv=sin2x\, dx\; ,\\\\v=-\frac{1}{2}cos2x\, ]=- \frac{1}{2}\cdot (x-3)cos2x\Big |_0^{\pi }+\frac{1}{2}\cdot \int\limits^{\pi }_0 \, cos2x\, dx=\\\\=-\frac{1}{2}\cdot (\pi -3)\underbrace {cos2\pi }_{1}+\frac{1}{2}\cdot (0-3)\underbrace {cos0}_{1}+\frac{1}{4}sin2x\Big |_0^{\pi }=\\\\=-\frac{1}{2}\cdot (\pi -3)-\frac{3}{2}+\frac{1}{4}(\underbrace {sin2\pi -sin0}_{0})=-\frac{1}{2}\cdot (\pi -3-3)=\\\\=-\frac{1}{2}\cdot (\pi -6)=3-\frac{\pi }{2}$

Answer 2

Для нахождения данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям или замену переменной. Давайте попробуем использовать метод интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям

Интеграл от произведения двух функций может быть выражен с использованием формулы интегрирования по частям:

∫ u * v dx = u * ∫ v dx - ∫ (u' * ∫ v dx) dx

где u и v - выбранные функции, u' - производная функции u.

Для данного интеграла, давайте выберем u = (x - 3) и dv = sin(2x) dx.

Тогда, du = dx и v = ∫ sin(2x) dx.

Вычисление v

Для вычисления ∫ sin(2x) dx, мы можем использовать метод замены переменной.

Пусть z = 2x, тогда dz = 2dx и dx = dz/2.

Заменяя переменную, получаем:

∫ sin(2x) dx = (1/2) ∫ sin(z) dz

Теперь мы можем вычислить интеграл ∫ sin(z) dz.

Вычисление интеграла ∫ sin(z) dz

Интеграл ∫ sin(z) dz просто равен -cos(z) + C, где C - произвольная постоянная.

Возвращаемся к первоначальному интегралу

Теперь, используя результаты вычислений, мы можем выразить исходный интеграл:

∫ (x - 3) * sin(2x) dx = (x - 3) * (-cos(2x)/2) - ∫ (-cos(2x)/2) dx

Вычислим первый член этого выражения:

(x - 3) * (-cos(2x)/2) = (-x*cos(2x) + 3*cos(2x))/2

Теперь осталось вычислить второй интеграл:

∫ (-cos(2x)/2) dx

Для вычисления данного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной.

Пусть u = 2x, тогда du = 2dx и dx = du/2.

Заменяя переменную, получаем:

∫ (-cos(2x)/2) dx = (1/2) ∫ -cos(u) du

Теперь мы можем вычислить интеграл ∫ -cos(u) du:

∫ -cos(u) du = sin(u) + C = sin(2x) + C

Итоговый ответ

Таким образом, интеграл ∫ (x - 3) * sin(2x) dx равен:

(-x*cos(2x) + 3*cos(2x))/2 - sin(2x) + C

где C - произвольная постоянная.