Question

Решите уравнение cos(2x-Pi/4)=- (корень из 3)/2 и найдите его корни, принадлежащие отрезку [1.5 ; 4]

Answer 1

2x-π/4=-5π/6+2πn U 2x-π/4=5π/6+2πn
2x=-7π/12+2πn U 2x=13π/12+2ππn
x=-7π/24+πn U x=13π/24+πn
x=2π/3:5π/6∈[1,5;4]

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x - π/4) = -√3/2 на отрезке [1.5; 4], мы можем использовать метод алгебраической трансцендентной функции. Давайте начнем.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Для начала, давайте приведем уравнение к стандартному виду cos(2x) = -√3/2, игнорируя константу -π/4. Это можно сделать с помощью тригонометрических тождеств:

cos(2x - π/4) = -√3/2 cos(2x)cos(π/4) + sin(2x)sin(π/4) = -√3/2 (√2/2)cos(2x) + (√2/2)sin(2x) = -√3/2

Шаг 2: Замена переменных

Для упрощения уравнения, мы можем ввести новые переменные:

u = √2/2 * cos(2x) v = √2/2 * sin(2x)

Тогда, уравнение примет вид:

u + v = -√3/2

Шаг 3: Решение системы уравнений

Теперь, давайте решим систему уравнений:

u + v = -√3/2 (1) u^2 + v^2 = 1 (2)

Мы можем решить систему уравнений, подставив (1) в (2):

u^2 + (-√3/2 - u)^2 = 1

После раскрытия скобок и упрощения, получим:

u^2 + 3/4 + √3u + u^2 = 1 2u^2 + √3u - 1/4 = 0

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь, мы можем решить квадратное уравнение 2u^2 + √3u - 1/4 = 0 с помощью дискриминанта:

D = (√3)^2 - 4 * 2 * (-1/4) = 3 + 1 = 4

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

u1 = (-√3 - √D) / 4 = (-√3 - 2) / 4 = -√3/4 - 1/2 u2 = (-√3 + √D) / 4 = (-√3 + 2) / 4 = √3/4 - 1/2

Шаг 5: Нахождение x

Теперь, мы можем найти значения x, используя обратные замены:

u = √2/2 * cos(2x) v = √2/2 * sin(2x)

Для первого корня (u1 = -√3/4 - 1/2): √2/2 * cos(2x1) = -√3/4 - 1/2 cos(2x1) = (-√3/4 - 1/2) * (2/√2) cos(2x1) = -√3/2 - √2/2

Используя тригонометрическую тождества, мы можем найти значения x1:

2x1 = π + arccos(-√3/2 - √2/2) x1 = (π + arccos(-√3/2 - √2/2))/2

Аналогично, для второго корня (u2 = √3/4 - 1/2): 2x2 = π + arccos(√3/2 - √2/2) x2 = (π + arccos(√3/2 - √2/2))/2

Шаг 6: Проверка корней на принадлежность отрезку [1.5; 4]

Наконец, мы можем проверить, принадлежат ли корни x1 и x2 отрезку [1.5; 4]. Для этого, мы можем вычислить значения функции cos(2x - π/4) для каждого корня.

Если значения функции находятся в пределах [-√3/2; √3/2], то корень принадлежит отрезку [1.5; 4].

Теперь, я могу вычислить значения x1 и x2, а также проверить их на принадлежность отрезку [1.5; 4].