Question

найдите наименьшее значение функции у=е^2х-8е^х+9 на отрезке (0,2)

Answer 1

Найдем производную:

y' = 2e^2x - 8e^x;
2e^2x - 8e^x = 0
2e^x (e^x - 4) = 0
2e^x - пустое множество.
e^x - 4 = 0
e^x = 4.
Надо найти наименьшее значение. Оно будет либо на 0, либо на e^x = 4.
y(0) = 1 - 8 + 9 = 2 
y(2) = даже не надо решать, ответ будет некорректный.

y(e^x=4) = 4^2 - 32 +9 = -7 - наименьшее

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = e^(2x) - 8e^x + 9 на отрезке (0, 2), мы можем использовать производные функции.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции y по x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования для функций вида y = e^u, где u - это функция от x. Правило состоит в том, что производная такой функции равна произведению производной функции u по x на саму функцию e^u.

Применяя это правило, получим:

y' = (e^(2x))' - (8e^x)' + (9)' = 2e^(2x) - 8e^x + 0 = 2e^(2x) - 8e^x

Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки функции, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

2e^(2x) - 8e^x = 0

Вынесем общий множитель:

2e^x(e^x - 4) = 0

Одно из решений этого уравнения - e^x = 0. Однако, такого значения не существует, поскольку экспонента e^x всегда положительна.

Второе решение - e^x - 4 = 0. Решим это уравнение:

e^x = 4

Определение экстремумов

Таким образом, получаем, что единственная критическая точка функции y = e^(2x) - 8e^x + 9 на отрезке (0, 2) соответствует значению x, при котором e^x = 4.

Решим это уравнение:

x = ln(4)

Проверка границ отрезка

Теперь, чтобы найти наименьшее значение функции, нужно проверить значения функции на границах отрезка (0, 2). Подставим x = 0 и x = 2 в исходную функцию и найдем соответствующие значения.

При x = 0: y = e^(2*0) - 8e^0 + 9 = 1 - 8 + 9 = 2

При x = 2: y = e^(2*2) - 8e^2 + 9 = e^4 - 8e^2 + 9

Вычисление наименьшего значения

Таким образом, наименьшее значение функции y = e^(2x) - 8e^x + 9 на отрезке (0, 2) может быть найдено путем сравнения значений функции при критической точке x = ln(4) и на границах отрезка x = 0 и x = 2.

Мы можем вычислить значения функции при x = ln(4), x = 0 и x = 2 и сравнить их, чтобы найти наименьшее значение.

Подставим x = ln(4) в функцию: y = e^(2*ln(4)) - 8e^ln(4) + 9 = 4^2 - 8*4 + 9 = 16 - 32 + 9 = -7

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке (0, 2) равно -7.