Question

Точка m середина стороны AB треугольника ABC. Точка K середина стороны AD, площадь треугольника ABC равна 12 см в квадрате. Чему равна площадь четырехугольника BMKC

Answer 1

Дано: ▲АВС
АМ=МВ
АК=КС
S(АВС)=12 см²
Найти: S(BMKC) - ?
Решение.
1) МК - средняя линия ▲АВС
S(AMK)=S(ABC)/4=12/4=3 см²
2) S(BMKC)=S(ABC)-S(AMK)=12-3=9 см²
Ответ: S(BMKC)=9 см²

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тем фактом, что если точка \( M \) - середина стороны \( AB \), то отрезок \( BM \) равен по длине отрезку \( MA \). Аналогично, если \( K \) - середина стороны \( AD \), то отрезок \( DK \) равен по длине отрезку \( KA \).

Пусть \( S_{ABC} \) - площадь треугольника \( ABC \), а \( S_{BMKC} \) - площадь четырехугольника \( BMKC \).

Так как \( BM = MA \) и \( DK = KA \), то \( BD = 2BM \) и \( AC = 2DK \).

Теперь, если мы построим медиану \( CM \) в треугольнике \( ABC \), то она делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью. Таким образом, \( S_{ABC} = 2S_{CBM} \).

Аналогично, если мы построим медиану \( CK \) в треугольнике \( ACD \), она делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью. Таким образом, \( S_{ACD} = 2S_{CDK} \).

Теперь мы можем выразить \( S_{BMKC} \) через площади треугольников:

\[ \begin{align*} S_{BMKC} &= S_{ABC} - S_{CBM} - S_{ACD} + S_{CDK} \\ &= 2S_{CBM} - S_{CBM} - 2S_{CDK} + S_{CDK} \\ &= S_{CBM} - S_{CDK}. \end{align*} \]

Таким образом, нам нужно найти разность площадей двух треугольников \( CBM \) и \( CDK \).

Так как \( BD = 2BM \) и \( AC = 2DK \), то сторона \( BC \) в \( \triangle CBM \) в два раза больше, чем сторона \( CD \) в \( \triangle CDK \).

Следовательно, отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон:

\[ \frac{S_{CBM}}{S_{CDK}} = \left(\frac{BC}{CD}\right)^2 = 2^2 = 4. \]

Таким образом, \( S_{BMKC} = S_{CBM} - S_{CDK} = 4S_{CDK} - S_{CDK} = 3S_{CDK} \).

Но \( S_{CDK} \) - это четверть площади треугольника \( ACD \), так как \( CK \) - медиана, делящая \( AD \) на три равные части.

Таким образом, \( S_{CDK} = \frac{1}{4}S_{ACD} \).

Теперь мы можем выразить \( S_{BMKC} \) через площадь треугольника \( ACD \):

\[ S_{BMKC} = 3S_{CDK} = 3 \cdot \frac{1}{4}S_{ACD} = \frac{3}{4}S_{ACD}. \]

Из условия задачи известно, что \( S_{ACD} = 12 \, \text{см}^2 \).

Таким образом, \( S_{BMKC} = \frac{3}{4} \cdot 12 \, \text{см}^2 = 9 \, \text{см}^2 \).

Таким образом, площадь четырехугольника \( BMKC \) равна \( 9 \, \text{см}^2 \).