Question

Найти все корни многочлена z^3+4√3-4i=0

Answer 1

Z^3=-4√3+4i=8*(-√3/2+i*1/2)
z^3=8*(cos 5Π/6+i*sin 5Π/6)
Извлекаем корень 3 степени, получаем 3 значения корня
z1=2(cos 5Π/18+i*sin 5Π/18)
z2=2(cos 17Π/18+i*sin 17Π/18)
z3=2(cos 29Π/18+i*sin 29Π/18)

Answer 2

Для нахождения корней данного многочлена, мы можем воспользоваться формулой Кардано. Первым шагом, заменим исходное уравнение на эквивалентное, выразив его в виде:

z^3 = -4√3 + 4i

Затем, возьмем кубический корень от обеих частей уравнения:

z = ∛(-4√3 + 4i)

Для удобства, представим число -4√3 + 4i в показательной форме:

-4√3 + 4i = 8 * (-√3/2 + i/2) = 8 * e^(iπ/3)

Теперь, можем записать уравнение в виде:

z = ∛(8 * e^(iπ/3))

Так как мы ищем все корни многочлена, то для нахождения всех трех корней, нужно воспользоваться формулой Эйлера:

z = ∛(8 * e^(iπ/3)) = 2 * ∛(e^(iπ/3)) = 2 * e^(iπ/9), 2 * e^(5iπ/9), 2 * e^(9iπ/9)

Таким образом, корни многочлена z^3 + 4√3 - 4i = 0 равны:

z = 2 * e^(iπ/9), 2 * e^(5iπ/9), 2 * e^(9iπ/9)