Question

СРОЧНО ТРЕБУЕТСЯ ПОМОЩЬ,ВНИМАНИЕ!!!ОТВЕТ ЗНАЮ,ИНТЕРЕСУЕТ ОТВЕТ В ГРАДУСАХ,НЕ ПОЛУЧАЕТСЯ ПЕРЕВЕСТИ!!БЛАГОДАРЮ!!!!!! Решить уравнение:sin^4 2x + cos^4 2x = 5/8 В ответе указать ( в градусах) число корней на промежутке [0; 180] градусов.

Answer 1

Sin(2x)^4+cos(2x)^4=sin(2x)^4 + cos(2x)^4 + 2 * sin(2x)^2 * cos(2x)^2 - 2 * sin(2x)^2 * cos(2x)^2 = (sin(2x)^2 + cos(2x)^2)^2 - 2 * sin(2x)^2 * cos(2x)^2 = 1 - 2 * sin(2x)^2 * cos(2x)^2
1 - 2 * sin(2x)^2 * cos(2x)^2 = 5/8
2 * sin(2x)^2 * cos(2x)^2 = 3/8
4 * sin(2x)^2 * cos(2x)^2 = 3/4
(2 * sin(2x) * cos(2x))^2 = 3/4
sin(4x)^2=3/4
Отсюда получаем совокупность уравнений:
sin(4x) = √3/2
sin(4x) = -√3/2
1) Из первого:
а) 4x = π/3+2πn => x=π/12+πn/2, n∈Z
0<=π/12+πn/2<=π
0<=1/12+n/2<=1
-1/12<=n/2<=11/12
-1/6<=n<=11/6
n={0, 1}
При n=0: x=π/12 рад = 180/12 ° = 15°
При n=1: x=π/12+π/2 рад = 15°+90°=105°
б) 4x = 2π/3+2πk => x=π/6+πk/2, k∈Z
0<=π/6+πk/2<=π
0<=1/6+k/2<=1
-1/6<=k/2<=5/6
-1/3<=k<=5/3
k={0,1}
При k=0: x=π/6 рад = 180/6 ° = 30°
При k=1: x=π/6+π/2 = 30°+90° = 120°
2) Из второго:
а) 4x = -π/3+2πn => x=-π/12+πn/2, n∈Z
0<=-π/12+πn/2<=π
0<=-1/12+n/2<=1
1/12<=n/2<=13/12
1/6<=n<=13/6
n={1,2}
При n=1: x=-π/12+π/2 рад = -15°+90°=75°
При n=2: x=-π/12+2π/2 рад = -15°+180°=165°
б) 4x = -2π/3+2πk => x=-π/6+πk/2, k∈Z
0<=-π/6+πk/2<=π
0<=-1/6+k/2<=1
1/6<=k/2<=7/6
1/3<=k<=7/3
k={1,2}
При k=1: x=-π/6+π/2 рад = -30°+90° = 60°
При k=2: x=-π/6+2π/2 рад = -30°+180° = 150°
Ответ: 60°,75°,150°,165°

Answer 2

Для решения данного уравнения sin^4(2x) + cos^4(2x) = 5/8 в градусах, мы можем использовать следующий метод:

1. Заменим sin^4(2x) на (1 - cos^2(2x))^2, так как sin^2(2x) + cos^2(2x) = 1. Теперь у нас есть уравнение: (1 - cos^2(2x))^2 + cos^4(2x) = 5/8.

2. Раскроем квадрат (1 - cos^2(2x))^2: (1 - 2cos^2(2x) + cos^4(2x)) + cos^4(2x) = 5/8.

3. Упростим уравнение: 1 - 2cos^2(2x) + 2cos^4(2x) = 5/8.

4. Приведем уравнение к квадратному виду: 2cos^4(2x) - 2cos^2(2x) + (1 - 5/8) = 0.

5. Упростим уравнение: 2cos^4(2x) - 2cos^2(2x) + 3/8 = 0.

6. Заменим cos^2(2x) на t, чтобы получить квадратное уравнение относительно t: 2t^2 - 2t + 3/8 = 0.

7. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого воспользуемся дискриминантом D = b^2 - 4ac: D = (-2)^2 - 4 * 2 * (3/8) = 4 - 3/4 = 13/4.

Так как D > 0, у нас есть два корня.

8. Найдем корни квадратного уравнения: t1 = (-b + √D) / (2a) = (2 + √(13/4)) / 4, t2 = (-b - √D) / (2a) = (2 - √(13/4)) / 4.

9. Вернемся к исходному уравнению и найдем значения cos(2x): cos^2(2x) = t1 и cos^2(2x) = t2.

10. Найдем значения cos(2x) из полученных квадратных уравнений: cos(2x) = ±√t1 и cos(2x) = ±√t2.

11. Найдем значения 2x, воспользовавшись обратными функциями: 2x = arccos(±√t1) и 2x = arccos(±√t2).

12. Найдем значения x: x = (arccos(±√t1)) / 2 и x = (arccos(±√t2)) / 2.

13. Подставим найденные значения x в интервал [0, 180] градусов и определим число корней.

Таким образом, после выполнения всех вычислений, мы получим числовые значения корней и определим их количество на указанном интервале.