Question

Решите 2^x + 2^(2-x)=5

Answer 1

2^x+2^2/2^x=5
2^2x+2^2=5*2^x
2^2x-5*2^x+4=0 2^x=t
t^2-5t+4=0
D=25-16=√9=3
t1=1 t2=4
2^x=1 x=0
2^x=4 x=2

Answer 2

Для решения уравнения 2^x + 2^(2-x) = 5 можно воспользоваться методом замены переменной. Давайте разберемся подробно.

Замена переменной:

Для удобства решения вводится новая переменная. Обычно используются следующие замены: 1) \( u = 2^x \) 2) \( v = 2^{-x} \)

Применение замены:

В данном случае, для уравнения 2^x + 2^(2-x) = 5, мы можем воспользоваться первой заменой: \( u = 2^x \)

Тогда уравнение примет вид: \[ u + \frac{2}{u} = 5 \]

Решение уравнения в новых переменных:

Давайте решим уравнение \( u + \frac{2}{u} = 5 \) с помощью метода замены переменной.

Умножим обе части уравнения на \( u \), чтобы избавиться от дроби: \[ u^2 + 2 = 5u \]

Получим квадратное уравнение: \[ u^2 - 5u + 2 = 0 \]

Решение квадратного уравнения:

Теперь можем решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = 5^2 - 4*1*2 = 25 - 8 = 17 \]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня: \[ u = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \] \[ u = \frac{-(-5) + \sqrt{17}}{2*1} = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \]

и \[ u = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \] \[ u = \frac{-(-5) - \sqrt{17}}{2*1} = \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \]

Возврат к исходной переменной:

Теперь, когда мы найдем значения \( u \), мы можем найти соответствующие значения для \( x \) с помощью обратной замены: 1) Для \( u = 2^x \) получим: \( 2^x = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \) \( x = \log_2{\left(\frac{5 + \sqrt{17}}{2}\right)} \) 2) Для \( u = 2^x \) получим: \( 2^x = \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \) \( x = \log_2{\left(\frac{5 - \sqrt{17}}{2}\right)} \)

Ответ:

Уравнение \( 2^x + 2^{2-x} = 5 \) имеет два решения: 1) \( x = \log_2{\left(\frac{5 + \sqrt{17}}{2}\right)} \) 2) \( x = \log_2{\left(\frac{5 - \sqrt{17}}{2}\right)} \)

Это является полным решением данного уравнения.