Question

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 и 12 см. Найдите больший катет треугольника

Answer 1

Если в прямоуг. труг-ке АВС провести радиусы к точкам касания вписанной окр-ти
т. Е на гипотенузе ВС и М на большем катете АB и Н на меньшем катете АС, то 
СЕ=NС= 5 см., как касательные к окр. из точки С. ЕВ = ВМ = 12 см., АМ=АN=X
Отсюда ВС=17см ,  АВ=12+ X ,  FC = 5+X По теореме Пифагора ВС*2=АВ*2 + АС*2
17*2=(12+X)*2 + (5+X)*2  289= 144+24x+x*2 + 25+ 10x +x*2
289= 2x*2+34x+ 169   2x*2+34x+169-289=0  2x*2 +34x -120=0  x*2 =17x -60=0
D =289+240=529  X= -17+23/ 2 X=6/2 X=3 Отсюда больший катет = 12+3=15см.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать два важных свойства прямоугольного треугольника и вписанной окружности.

Свойство 1: Точка касания вписанной окружности с гипотенузой

При треугольнике, вписанном в окружность, точка касания окружности с одной из сторон треугольника делит эту сторону на два отрезка. Давайте обозначим эти отрезки как a и b.

Свойство 2: Теорема Пифагора

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Для нашего треугольника, где a и b - это отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу, мы можем записать это следующим образом:

a^2 + b^2 = c^2

где c - это гипотенуза треугольника.

Решение задачи

У нас есть информация о том, что точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Мы можем обозначить эти отрезки как a = 5 см и b = 12 см.

Используя свойство 1, мы знаем, что a и b являются отрезками, на которые точка касания делит гипотенузу. Теперь мы можем записать уравнение, используя свойство 2:

a^2 + b^2 = c^2

(5 см)^2 + (12 см)^2 = c^2

25 см^2 + 144 см^2 = c^2

169 см^2 = c^2

c = √169 см

c = 13 см

Таким образом, больший катет треугольника равен 13 см.