Question

Доказать, что 1^3+2^3+3^3+4^3+...+2016^3 делится на 2017

Answer 1

Сумма разбивается на 2016/2=1013 пар вида k^3+(2017-k)^3, k=1,2,...,1013
Рассмотрим произвольную пару: k^3+(2017-k)^3=(k+2017-k)*(k^2+k(2017-k)+(2017-k)^2)=2017*((k^2+k(2017-k)+(2017-k)^2)), то есть, она кратна 2017, значит и сумма всех 1013 этих пар кратна 2017.

Answer 2

Для доказательства того, что сумма кубов чисел от 1 до 2016 делится на 2017, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг:

Проверим, что утверждение верно для начального значения n = 1. 1^3 = 1, и 1 делится на 2017 без остатка.

Предположение индукции:

Предположим, что утверждение верно для некоторого значения n = k, то есть сумма кубов чисел от 1 до k делится на 2017.

Шаг индукции:

Докажем, что утверждение верно для n = k + 1, используя предположение индукции. Рассмотрим сумму кубов чисел от 1 до k + 1: 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 + (k + 1)^3

Мы можем представить эту сумму как сумму двух частей: 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 + (k + 1)^3 = (1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3) + (k + 1)^3

По предположению индукции, сумма кубов чисел от 1 до k делится на 2017. Поэтому первая часть суммы делится на 2017 без остатка.

Теперь рассмотрим вторую часть суммы: (k + 1)^3. Мы можем записать (k + 1)^3 как (k^3 + 3k^2 + 3k + 1). Таким образом, вторая часть суммы также представляет собой сумму кубов чисел, но с коэффициентами 3k^2, 3k и 1.

Мы знаем, что сумма кубов чисел от 1 до k делится на 2017 без остатка. Поэтому первая часть суммы делится на 2017 без остатка. Также заметим, что 3k^2, 3k и 1 являются константами, не зависящими от k.

Таким образом, вторая часть суммы также делится на 2017 без остатка.

Итак, мы доказали, что если сумма кубов чисел от 1 до k делится на 2017, то сумма кубов чисел от 1 до k + 1 также делится на 2017.

Заключение:

Мы доказали, что сумма кубов чисел от 1 до 2016 делится на 2017.