Question

Помогите пожалуйста решить: 1)sin^3 x + cos^3 x = 1 2) sin x + cos x - cos^2 100 = sin^2 100 + 1/2 sin 2x

Answer 1

1) в левой части необходимо разложить формулу суммы кубов; справа: разложить тригонометрическую единицу и + и - выражение 2sinxcosx
затем раскладываем на множители:
(cosx+sinx)(1-cosxsinx)=(cosx+sinx)^2-2cosxsinx
cosx+sinx=0 или 1-cosxsinx=cosx+sinx-2cosxsix
                             1 - sinx=cosx-sinxcosx
                              1-sinx=cosx(1-sinx)
                              1-sinx=0 или cosx=1

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

1) sin^3(x) + cos^3(x) = 1

Для начала заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, поэтому мы можем заменить в данном уравнении одно из слагаемых:

sin^3(x) + (1 - sin^2(x)) = 1

Раскроем скобки:

sin^3(x) + 1 - sin^2(x) = 1

Прибавим sin^2(x) к обеим частям уравнения:

sin^3(x) + sin^2(x) + 1 - sin^2(x) = 1 + sin^2(x)

Упростим:

sin^3(x) + sin^2(x) + 1 - sin^2(x) = 1 + sin^2(x)

sin^3(x) + sin^2(x) - sin^2(x) + 1 = 1 + sin^2(x)

sin^3(x) + 1 = 1 + sin^2(x)

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

sin^3(x) = sin^2(x)

Теперь рассмотрим два случая:

1.1) sin(x) = 0

Это означает, что x = 0 или x = π.

1.2) sin(x) ≠ 0

В этом случае мы можем сократить sin(x) из обеих частей уравнения:

sin^2(x) = sin(x)

Таким образом, sin(x) = 1.

Ответ: x = 0, x = π, или sin(x) = 1.

2) sin(x) + cos(x) - cos^2(100) = sin^2(100) + 1/2 * sin(2x)

Рассмотрим каждую часть уравнения по отдельности:

sin(x) + cos(x) - cos^2(100) = sin^2(100) + 1/2 * sin(2x)

sin(x) + cos(x) - cos^2(100) = sin^2(100) + 1/2 * 2 * sin(x) * cos(x)

sin(x) + cos(x) - cos^2(100) = sin^2(100) + sin(x) * cos(x)

sin(x) + cos(x) - cos^2(100) - sin(x) * cos(x) = sin^2(100)

Теперь мы можем заменить sin^2(100) на 1 - cos^2(100):

sin(x) + cos(x) - cos^2(100) - sin(x) * cos(x) = 1 - cos^2(100)

Раскроем скобки:

sin(x) + cos(x) - cos^2(100) - sin(x) * cos(x) = 1 - cos^2(100)

Прибавим cos^2(100) к обеим частям уравнения:

sin(x) + cos(x) - sin(x) * cos(x) = 1

Упростим:

sin(x) + cos(x) - sin(x) * cos(x) = 1

Теперь рассмотрим два случая:

2.1) sin(x) * cos(x) = 0

Это означает, что sin(x) = 0 или cos(x) = 0.

2.1.1) sin(x) = 0

В этом случае x = 0 или x = π.

2.1.2) cos(x) = 0

В этом случае x = π/2 или x = 3π/2.

2.2) sin(x) * cos(x) ≠ 0

В этом случае мы можем сократить sin(x) * cos(x) из обеих частей уравнения:

sin(x) + cos(x) = 1

Ответ: x = 0, x = π, x = π/2 или x = 3π/2, или sin(x) + cos(x) = 1.