Question

Lg^2(x+1) = lg(x+1)lg(x-1)+2lg^2(x-1)

Answer 1

Использованы свойства логарифмов

Answer 2

Для начала, давайте разберемся с обозначениями. Здесь "lg" означает логарифм по основанию 10, а "^2" обозначает возведение в квадрат.

Итак, у нас есть уравнение: Lg^2(x+1) = lg(x+1)lg(x-1) + 2lg^2(x-1)

Давайте решим его поэтапно.

1. Перенесем все слагаемые на одну сторону, чтобы получить уравнение равенства нулю: Lg^2(x+1) - lg(x+1)lg(x-1) - 2lg^2(x-1) = 0

2. Мы можем заметить, что все слагаемые содержат общий множитель lg(x+1), поэтому мы можем его вынести за скобку: lg(x+1)(lg(x+1) - lg(x-1) - 2lg(x-1)) = 0

3. Нам нужно найти значения x, для которых это уравнение равно нулю. Для этого мы рассматриваем два случая:

a) lg(x+1) = 0 В этом случае, x+1 = 10^0 = 1. Значит, x = 0.

b) lg(x+1) - lg(x-1) - 2lg(x-1) = 0 Для решения этого уравнения мы можем объединить слагаемые справа от равенства: lg(x+1) - 3lg(x-1) = 0

Затем, мы можем использовать свойство логарифма, которое гласит, что lg(a) - lg(b) = lg(a/b), чтобы сократить слагаемые: lg((x+1)/(x-1)^3) = 0

Так как логарифм равен нулю только тогда, когда аргумент равен 1, мы можем решить: (x+1)/(x-1)^3 = 1

Раскроем скобки на левой стороне: (x+1)/(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 1

Умножим обе части на знаменатель: x + 1 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1

Перенесем все слагаемые на одну сторону: x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0

Это кубическое уравнение, которое можно решить различными способами, например, методом подстановки или с помощью компьютера.

Итак, мы получили два решения для данного уравнения: x = 0 и другое решение, которое можно найти, решив кубическое уравнение x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0.