Question

Найти точки минимума функции f(x)=x^3-3x^2

Answer 1

Берем производную:
f(x)'=3x^2-3(2x)=3x^2-6x;
находим критические точки:
3x^2-6x=0; 3x(x-2)=0;
x1=0; x2=2; теперь методом интервалов находим:
функция возрастает: [0;2]; на остальных убывает, значит точкой минимума будет x=2; f(x)=8-12=-4;
Ответ: (2;-4)

Answer 2

Чтобы найти точки минимума функции f(x) = x^3 - 3x^2, мы можем использовать метод дифференцирования. Точка минимума функции соответствует месту, где ее производная равна нулю.

Дифференцирование функции

Для начала, найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (x^3 - 3x^2)

Для дифференцирования функции, мы можем использовать правило степенной функции и правило константы:

f'(x) = 3x^2 - 6x

Нахождение точек минимума

Чтобы найти точки минимума, мы должны решить уравнение f'(x) = 0. Подставим f'(x) равным нулю и решим уравнение:

3x^2 - 6x = 0

Вынесем общий множитель:

3x(x - 2) = 0

Теперь, чтобы найти значения x, которые удовлетворяют этому уравнению, мы должны решить два уравнения:

1) 3x = 0, что даёт нам x = 0.

2) x - 2 = 0, что даёт нам x = 2.

Проверка точек минимума

Теперь мы должны проверить, являются ли найденные значения x точками минимума. Для этого мы можем взять вторую производную функции f(x) и проверить ее знак.

f''(x) = d^2/dx^2 (x^3 - 3x^2)

Снова, используем правило степенной функции и правило константы:

f''(x) = 6x - 6

Определение знака второй производной

Подставим найденные значения x = 0 и x = 2 во вторую производную:

1) При x = 0: f''(0) = 6 * 0 - 6 = -6

2) При x = 2: f''(2) = 6 * 2 - 6 = 6

Таким образом, при x = 0, f''(x) < 0, и при x = 2, f''(x) > 0.

Вывод

Значение x = 0 соответствует точке минимума функции f(x) = x^3 - 3x^2. Значение x = 2 не является точкой минимума, а является точкой перегиба. Таким образом, точка минимума функции f(x) находится при x = 0.

Ответ: Точка минимума функции f(x) = x^3 - 3x^2 находится при x = 0.