Question

Помогите пожалуйста! Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2+6x-5; y=0

Answer 1

Y=-x²+6x-5;
-x²+6x-5=0;⇒x²-6x+5=0;
x₁,₂=3⁺₋√9-5=3⁺₋2;
x₁=5;x₂=1;
$\int\limits^5_1 {(-x^2+6x-5) } \, dx$=(-x³/3+3x²-5x)(от а=1до в=5)=
=(-5³/3+3·5²-5·5)-(-1/3+3·1-5)=-125/3+75-25+1/3-3+5=
=-124/3+50+2=(-124+150+6)/3=-32/3=-10,66

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо вычислить определенный интеграл функции, представляющей верхнюю кривую, и вычесть из него определенный интеграл функции, представляющей нижнюю кривую. В данном случае, нижняя кривая представлена горизонтальной линией y=0, а верхняя кривая представлена параболой y=-x^2+6x-5.

Нахождение точек пересечения

Прежде чем рассчитать площадь фигуры, нам нужно найти точки пересечения двух кривых. Для этого приравняем две функции друг к другу и решим полученное уравнение:

-y = -x^2 + 6x - 5

После упрощения получим квадратное уравнение:

x^2 - 6x + y - 5 = 0

Решим это уравнение, используя квадратное уравнение или графический метод, чтобы найти значения x, при которых функции пересекаются. Пусть эти значения будут x1 и x2.

Вычисление площади

Площадь фигуры ограничена горизонтальной осью (y=0) и верхней кривой. Для вычисления площади используем определенный интеграл:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - значения x, при которых функции пересекаются, f(x) - верхняя кривая, g(x) - нижняя кривая.

Теперь мы можем рассчитать площадь фигуры, используя найденные значения x1 и x2:

S = ∫[x1, x2] (-x^2 + 6x - 5 - 0) dx

Вычисление определенного интеграла

Для вычисления интеграла, раскроем скобки и проинтегрируем каждый член по отдельности:

S = ∫[x1, x2] (-x^2 + 6x - 5) dx = ∫[x1, x2] -x^2 dx + ∫[x1, x2] 6x dx - ∫[x1, x2] 5 dx

Интегрируя каждый член, получим:

S = [-1/3x^3 + 3x^2 - 5x] [x1, x2]

Подстановка значений

Теперь подставим значения x1 и x2 в полученное выражение:

S = [-1/3x^3 + 3x^2 - 5x] [x1, x2] = [-1/3x2^3 + 3x2^2 - 5x2] - [-1/3x1^3 + 3x1^2 - 5x1]

Вычислив это выражение, мы получим площадь фигуры, ограниченной кривыми y=-x^2+6x-5 и y=0.