Question

иследуйте функцию на монотонность y=x^2+2x если х больше или равно -1!наибольшее наименьшее значение функции на отрезке [-2;0.4]

Answer 1

Находим производную функции

y'=2x+2=2*(x+1)

Если $x\geq-1$, то производная $y'\geq0$

Так как производная положительна, функция возрастает

Находим наибольшее и наименьшее значения функции

Для этого найдем x, для которого y'=0

y'=0 при x=-1

Так как x=-1 принадлежит отрезку [-2; 0.4], то находим

y(-1)=(-1)^2+2*(-1)=-1

y(-2)=(-2)^2+2*(-2)=0

y(0.4)=(0.4)^2+2*0.4=0.96

Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 0.4]

у(0.4)=0.96

Наименьшее значение функции на отрезке [-2; 0.4]

y(-1)=-1

 

Answer 2

Исследование функции на монотонность

Дана функция y = x^2 + 2x. Необходимо исследовать ее на монотонность при x >= -1 и найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2; 0.4].

Для исследования монотонности функции, мы должны проанализировать ее производную. Если производная положительна на заданном интервале, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает.

Исследование монотонности

Для функции y = x^2 + 2x, найдем ее производную:

y' = 2x + 2

Теперь проанализируем знак производной на интервале x >= -1.

1. Подставим x = -1 в производную: y'(-1) = 2(-1) + 2 = 0

Значение производной равно 0 при x = -1.

2. Выберем произвольную точку x1 из интервала x > -1 и подставим ее в производную: y'(x1) = 2x1 + 2

Значение производной будет положительным при x1 > -1.

Исходя из этого, можно сделать вывод, что функция y = x^2 + 2x возрастает на интервале x >= -1.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [-2; 0.4], мы должны проанализировать значения функции на концах отрезка и в критических точках.

1. Подставим x = -2 в функцию: **y(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0

Answer 3

Дана функция y=x^2+2x. Исследуем ее на монотонность, если x>=-1.

Функция является квадратичной, то есть ее график — парабола. Коэффициент при x^2 положительный, значит парабола ветвями вверх. Вершина параболы имеет координаты x=-b/2a=-2/2=-1 и y=c-b^2/4a=-1-4/4=-2. Значит, функция убывает на интервале (-∞;-1] и возрастает на интервале [-1;+∞). Так как нас интересует только случай, когда x>=-1, то мы можем сказать, что функция возрастает на интервале [-1;+∞).

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2;0.4]. Для этого нужно подставить концы отрезка в функцию и сравнить их значения. Также нужно проверить, не попадает ли вершина параболы в этот отрезок, так как она может быть экстремумом функции.

y(-2)=(-2)^2+2*(-2)=4-4=0 y(0.4)=(0.4)^2+2*(0.4)=0.16+0.8=0.96 y(-1)=-2

Вершина параболы (-1;-2) попадает в отрезок [-2;0.4], и она является минимумом функции на этом отрезке, так как функция возрастает на интервале [-1;+∞]. Максимум функции на этом отрезке достигается в правом конце, то есть в точке (0.4;0.96).

Ответ: функция возрастает на интервале [-1;+∞]. На отрезке [-2;0.4] наибольшее значение функции равно 0.96, а наименьшее значение равно -2.