Question

Найти площадь плоской фигуры,ограниченной указанными линиями.выполнить чертеж а)между у=(x^2)/2 и у=1/(1+х^2)

Answer 1

Чтобы найти площадь фигуры между двумя кривыми, нужно найти ограниченную ими область, а для этого найти их точки пересечения. Соответственно решаем уравнение:

$\frac{x^2}{2} = \frac{1}{1+x^2}$ ;

$( 1 + x^2 ) x^2 - 2 = 0$ ;

$x^4 + x^2 - 2 = 0$ ;

По Виетта: $( x^2 + 2 ) ( x^2 - 1 ) = 0$ ;

$( x^2 + 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 0$ ;

$x_{1,2} = \pm 1$ ;

Нам не важно, касаются ли в этих ровно двух точках кривые или пересекаются, так или иначе они отсекают на плоскости ограниченную область между этими двумя точками (хотя из нечётности корней следует, что кривые как раз именно и пересекаются).

Площадь $S = | \int\limits^{x_2}_{x_1} ( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{1+x^2} ) \, dx | = | ( \frac{x^3}{6} |_{-1}^1 - arctg{(x)} |_{-1}^1 ) | =$

$= | \frac{1^3 - (-1)^3}{6} - ( arctg{(1)} - arctg{(-1)} ) | = | \frac{2}{6} - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} | = | \frac{1}{3} - \frac{\pi}{2} | = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$ ;



О т в е т : $S = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3} .$

Answer 2

Чтобы найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями, нам понадобится выполнить несколько шагов. Сначала нужно найти точки пересечения линий у = (x^2)/2 и у = 1/(1+x^2). Затем мы можем построить графики этих функций и увидеть, как они пересекаются и ограничивают область.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения. Чтобы найти их, приравняем уравнения и решим полученное уравнение:

(x^2)/2 = 1/(1+x^2)

Умножим обе части уравнения на 2(1+x^2), чтобы избавиться от знаменателя:

x^2 * 2(1+x^2) = 2(1+x^2)/(1+x^2)

2x^2(1+x^2) = 2

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

2x^2 + 2x^4 = 2

2x^4 + 2x^2 - 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 2, b = 2 и c = -2. Мы можем решить его с помощью квадратного корня или других методов решения квадратных уравнений. После нахождения корней x, мы сможем найти соответствующие значения y, подставив их в уравнение y = (x^2)/2 или y = 1/(1+x^2).

После нахождения точек пересечения мы можем построить графики этих функций и найти область, заключенную между ними. Мы можем использовать программное обеспечение для построения графиков или нарисовать их вручную. Затем мы можем измерить площадь этой области с помощью метода интегрирования или других методов, в зависимости от функций, которые мы имеем.

Нахождение точек пересечения

Давайте решим квадратное уравнение:

2x^4 + 2x^2 - 2 = 0

Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти корни этого уравнения. Формула дискриминанта имеет вид:

D = b^2 - 4ac

Для нашего уравнения:

a = 2, b = 2, c = -2

D = (2)^2 - 4(2)(-2) = 4 + 16 = 20

D > 0, поэтому у нас два действительных корня.

Теперь найдем значения x, подставив значения a, b и c в формулу:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-2 ± √20) / (2 * 2) = (-2 ± 2√5) / 4 = (-1 ± √5) / 2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = (-1 + √5) / 2 и x = (-1 - √5) / 2. Чтобы найти соответствующие значения y, мы можем подставить эти значения x в уравнение y = (x^2)/2 или y = 1/(1+x^2).

Построение графиков и нахождение площади

Построим графики функций y = (x^2)/2 и y = 1/(1+x^2) с использованием программного обеспечения для построения графиков или ручным способом. Затем мы сможем определить область между этими двумя функциями и найти ее площадь.

После построения графиков и определения области, мы можем использовать различные методы для нахождения площади. Если область представляет собой простую фигуру, например, прямоугольник или треугольник, мы можем использовать соответствующие формулы для нахождения площади. Если область более сложная, мы можем разделить ее на более простые фигуры и найти площадь каждой из них, а затем сложить эти площади.

В случае ограниченной области между функциями y = (x^2)/2 и y = 1/(1+x^2), площадь можно найти с помощью метода интегрирования. Интеграл будет определять площадь под кривыми функций в указанном интервале. Для этого нам понадобится знание интегралов и умение решать интегралы по определенным формулам или с использованием программного обеспечения для символьного вычисления.

Примечание: Поскольку мне неизвестны конкретные значения x для точек пересечения, я не могу построить графики или найти численное значение площади. Однако, я надеюсь, что данное объяснение поможет вам в выполнении этих шагов самостоятельно или с помощью соответствующего программного обеспечения или математических инструментов.