Question

Схема дослідження графіка функції за допомою похідної 1/3x(3)+ 2x(2) помогите пожалуйста!

Answer 1

У=1/3х³+2х²
D(y)∈(-∞;∞)
y(-x)=-1/3x³+2x² ни четная и ни нечетная
x=0  y=0
y=0    x²(1/3x+2)=0⇒x=0 U x=-6
(0;0);(-6;0) точки пересечения с осями
y`=x²+4x=0
x(x+4)=0
x=0 U x=-4
               +                      _                    +
------------------(-4)-----------------(0)-------------------
возр              max  убыв        min  возр
ymax=y(-4)=-64/3+32=(-64+96)/3=32/3=10 2/3
ymin=y(0)=0
y``=2x+4=0
x=-2  y=-8/3+8=(-8+24)/3=16/3=5 1/3
(-2;5 1/3)-точка перегиба
                       _                          +
--------------------------------(-2)-----------------------
выпук вверх                          вогн вниз

Answer 2

Для того чтобы построить график функции с помощью производной, мы можем использовать следующую схему:

1. Найдите производную функции. В данном случае, у нас есть функция f(x) = (1/3)x^3 + 2x^2. Чтобы найти производную, возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим их. Производная слагаемого (1/3)x^3 равна (1/3) * 3x^2 = x^2, а производная слагаемого 2x^2 равна 2 * 2x = 4x. Таким образом, производная функции f(x) равна f'(x) = x^2 + 4x.

2. Найдите точки экстремума. Чтобы найти точки экстремума, приравняйте производную к нулю и решите полученное уравнение. В данном случае, приравняем x^2 + 4x к нулю: x^2 + 4x = 0. Факторизуем это уравнение: x(x + 4) = 0. Таким образом, получаем две точки экстремума: x = 0 и x = -4.

3. Найдите точки перегиба. Чтобы найти точки перегиба, найдите вторую производную функции и приравняйте ее к нулю. В данном случае, возьмем производную производной f'(x). Производная f'(x) равна f''(x) = 2x + 4. Приравняем f''(x) к нулю: 2x + 4 = 0. Решим это уравнение: 2x = -4, x = -2. Таким образом, получаем точку перегиба x = -2.

4. Постройте график функции. Используя найденные точки экстремума и точку перегиба, мы можем построить график функции. На оси x отметим точки экстремума x = 0 и x = -4, а также точку перегиба x = -2. Затем, используя значения функции в этих точках, построим соответствующие точки на графике. Для остальных значений x можно использовать производную функции, чтобы определить, в каком направлении функция возрастает или убывает.

График функции:


На графике видно, что функция имеет точку экстремума в x = 0 и x = -4, а также точку перегиба в x = -2. Также можно заметить, что функция возрастает на интервале (-∞, -4) и (0, +∞), и убывает на интервале (-4, 0).