Question

Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна a, а один из углов — 60°. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Только что ...........
AB = CD =a ;<BAH) =60°; AD | | BC ; ABCD описанная  трапеция .
 ---------------------------------------------------------------------------------------------
  S(ABCD)  ----?
S(ABCD) = 1/2*(AD + BC) * h   ,где  AD и  BC основания , а  h высота трапеции. 
 S(ABCD) = 1/2*(AB +CD) *h  (свойство описанного четырехугольника_ суммы  противоположных сторон равны  AB +CD = AB +CD ).
 S(ABCD) = 1/2*2AB *h =AB*h  =a*h    (AB =CD) ;
Проведем  высоту  BH ┴ AD 
 Из  ΔAHB 
h  = BD =AB*sin(<BAH) =a*sin60° =(a√3)/2 .
 S(ABCD) = a*h =a*(a√3)/2;
S(ABCD) =√3/2*(a²).

Answer 2

Пусть b - основание трапеции, h - высота трапеции.

Так как боковая сторона равнобокой трапеции равна a, а один из углов - 60 градусов, то это значит, что боковая сторона является радиусом описанной окружности, а угол 60 градусов - углом между радиусом и хордой окружности.

По свойству окружности, угол, стоящий на хорде, в два раза больше угла, стоящего на дуге, ограниченной этой хордой. Таким образом, угол, стоящий на радиусе a, равен 60/2 = 30 градусов.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, хордой и высотой трапеции. Угол между радиусом и хордой равен 30 градусов, а угол между радиусом и высотой - 90 градусов.

Применим тригонометрическое соотношение для прямоугольного треугольника: sin(30) = h / a h = a * sin(30) = a * 1/2 = a/2

Площадь трапеции вычисляется по формуле: S = (a + b) * h / 2

Так как боковая сторона a равна радиусу окружности, то b - второе основание трапеции, равное диаметру окружности. Так как боковая сторона a равна радиусу окружности, то диаметр окружности равен 2a.

Таким образом, b = 2a.

S = (a + 2a) * (a/2) / 2 = 3a^2 / 4

Ответ: площадь трапеции равна 3a^2 / 4.