Question

Помогите пожалуйста: розв'яжіть рівняння cos2x=1/2 на проміжку [-π/2; 0]

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для розв'язання рівняння `cos(2x) = 1/2` на проміжку `[-π/2, 0]`, ми можемо скористатися властивостями функції косинус та алгебраїчними перетвореннями.

Перетворення рівняння:

Почнемо зі спрощення рівняння `cos(2x) = 1/2`. Ми знаємо, що косинус двійкового кута можна виразити як `cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)`. Замінимо це в рівнянні: `cos^2(x) - sin^2(x) = 1/2`.

Використання тригонометричних тотожностей:

Застосуємо тригонометричну тотожність `sin^2(x) = 1 - cos^2(x)` для спрощення рівняння: `cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 1/2`. Розкриємо дужки: `cos^2(x) - 1 + cos^2(x) = 1/2`. Скомбінуємо подібні члени: `2cos^2(x) - 1 = 1/2`.

Перенесення членів:

Перенесемо `-1` на ліву сторону рівняння: `2cos^2(x) = 1/2 + 1`. Скомбінуємо дроби: `2cos^2(x) = 3/2`.

Ділення на 2:

Поділимо обидві частини рівняння на 2: `cos^2(x) = 3/4`.

Взяття квадратного кореня:

Візьмемо корінь з обох частин рівняння: `cos(x) = ±√(3/4)`.

Знаходження значень косинуса:

Тепер, знаючи, що `cos(x) = ±√(3/4)`, ми можемо знайти значення кута `x`.

1. Якщо `cos(x) = √(3/4)`, то `x` може бути таким: `x = arccos(√(3/4))`.

2. Якщо `cos(x) = -√(3/4)`, то `x` може бути таким: `x = arccos(-√(3/4))`.

Обчислення значень кута:

Використаємо обернену функцію косинуса (`arccos`) для обчислення значень кута `x`:

1. Коли `cos(x) = √(3/4)`: `x = arccos(√(3/4)) ≈ 0.5236` (радіани) або `x ≈ 30°`.

2. Коли `cos(x) = -√(3/4)`: `x = arccos(-√(3/4)) ≈ 2.6179` (радіани) або `x ≈ 150°`.

Вибір правильного значення:

Ми розв'язали рівняння `cos(2x) = 1/2` і отримали два можливих значення кута `x`: `x ≈ 30°` і `x ≈ 150°`. Однак, нам потрібно знайти значення `x` на проміжку `[-π/2, 0]`.

На проміжку `[-π/2, 0]` косинус є невід'ємним, тому ми можемо виключити значення `x ≈ 150°` (або `x ≈ 2.6179` радіан).

Отже, розв'язком рівняння `cos(2x) = 1/2` на проміжку `[-π/2, 0]` є `x ≈ 30°` (або `x ≈ 0.5236` радіан).