Question

В треугольник ABC вписан параллелограмм BDEF таким образом, что точки Д, E, F лежат на сторонах АВ, АС и BС соответственно. Площади параллелограмма BDEF и треугольника ABC относятся, как 4:9. Найдите стороны параллелограмма, если АВ = 12, ВС=1 8.P.S. Чертеж есть, по примеру пытаюсь решить, но все время где-то ошибаюсь. Если можно с пояснениями.

Answer 1

Очевидно что  $BD||EF$ так как параллелограмм , а так как $BD||EF||AB$, то есть треугольник  $EFC$  подобен  $ABC$ 
площадь треугольника $S_{ABC}=12*9*sinABC$ 
 площадь параллелограмма $BD*BF*sinABC$ 
откуда $\frac{BD*BF}{12*9}=\frac{4}{9}\\ BD*BF=48$ 
из подобия треугольников получим 
 
 $\frac{BD}{12} = \frac{18-BF}{18}\\ BD*BF=48\\\\ \frac{\frac{48}{BF}}{12}=\frac{ 18-BF}{18}\\ \frac{48}{BF} = \frac{2}{3}*(18-BF)\\ 144=2BF(18-BF)\\ 72=18BF-BF^2\\ BF=6\\ BF=12\\ BD=8\\ BD=4$
то есть два решения 
$BF=6; \ \ BD=8\\ BF=12;\ \ BD=4$

Answer 2

Пусть сторона параллелограмма BD = x и сторона параллелограмма BF = y.

Так как точка D лежит на стороне AB, то AD = AB - BD = 12 - x. Аналогично, точка F лежит на стороне BC, то BF = BC - CF = 18 - y.

Площадь треугольника ABC равна (1/2) * AB * AC, где AC - высота треугольника, проходящая через вершину B. Так как параллелограмм BDEF вписан в треугольник ABC, то высота треугольника равна высоте параллелограмма, то есть высоте относительно основания BD. Таким образом, высота треугольника равна (1/2) * BD.

Площадь параллелограмма BDEF равна произведению длин его сторон BD и BF, то есть x * y.

Из условия задачи известно, что площадь параллелограмма BDEF и треугольника ABC относятся как 4:9. То есть x * y : ((1/2) * BD * AB) = 4/9. Подставляем значения и получаем уравнение: x * y : ((1/2) * x * (12 - x)) = 4/9.

Упрощаем уравнение и получаем: 2 * x * y = (4/9) * x * (12 - x). Сокращаем на x и получаем: 2 * y = (4/9) * (12 - x). Раскрываем скобку и получаем: 2 * y = (4/9) * 12 - (4/9) * x. Упрощаем и получаем: 2 * y = 16/3 - (4/9) * x.

Также из условия задачи известно, что AB = 12 и BC = 18. Так как параллелограмм BDEF вписан в треугольник ABC, то стороны параллелограмма совпадают с соответствующими сторонами треугольника. То есть x = AB = 12 и y = BC = 18.

Подставляем значения и получаем: 2 * 18 = 16/3 - (4/9) * 12. Упрощаем и получаем: 36 = 16/3 - 16/3. Складываем дроби и получаем: 36 = 0.

Получили противоречие, так как равенство невозможно. Значит, ошибка где-то в другом месте.