Question

1. (1 балл). Решите рекуррентное соотношение: аn+2-10n+1+25an=0, с начальными условиями а0=1, а1=15?

Answer 1

Что-то мне подсказывает, что рекуррентное соотношение было таким:
$a_{n+2}-10a_{n+1}+25a_n=0$
а не таким, как написано у вас (и в конце концов, начните использовать уже скобки или еще что-нибудь в таком духе!)

Ищем решение в виде $a_n=\lambda^n$ (про начальные условия пока забудем). Подставив в соотношение будем иметь:
$\lambda^{n+2}-10\lambda^{n+1}+25\lambda^n=0\\ \lambda^2-10\lambda+25=0\\ \lambda_{1,2}=5$

Получилось 2 равных корня, поэтому решение всей задачи имеет вид
$a_n=(x+ny)\cdot5^n$
где x,y - неизвестные (пока) коэффициенты. Для определения коэффициентов подставим начальные условия:
$\begin{cases}(x+0y)5^0=1\\(x+1y)5^1=15\end{cases}\begin{cases}x=1\\x+y=3\end{cases}\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$

Ответ. 
$a_n=(1+2n)\cdot5^n$

Answer 2

Для решения данного рекуррентного соотношения сначала найдем характеристическое уравнение. Пусть а(n) = r^n, тогда подставляя в исходное соотношение, получим:

r^(n+2) - 10r^(n+1) + 25r^n = 0

Выносим общий множитель r^n:

r^n (r^2 - 10r + 25) = 0

Так как r^n не может быть равным нулю, то остается квадратное уравнение:

r^2 - 10r + 25 = 0

Данное уравнение можно решить с помощью квадратного корня:

D = 10^2 - 4*1*25 = 100 - 100 = 0

Так как дискриминант равен нулю, то у уравнения есть один корень:

r = -b / 2a = 10 / 2 = 5

Таким образом, характеристическое уравнение имеет корень r = 5.

Теперь найдем общее решение рекуррентного соотношения. Общее решение имеет вид:

а(n) = C1 * r1^n + C2 * r2^n

где C1 и C2 - произвольные константы, r1 и r2 - корни характеристического уравнения.

В нашем случае r1 = r2 = 5, поэтому общее решение принимает вид:

а(n) = C1 * 5^n + C2 * 5^n

Теперь найдем значения констант C1 и C2, используя начальные условия а0 = 1 и а1 = 15:

а0 = C1 * 5^0 + C2 * 5^0 = C1 + C2 = 1 (условие 1)

а1 = C1 * 5^1 + C2 * 5^1 = 5C1 + 5C2 = 15 (условие 2)

Решая данную систему уравнений (1) и (2), получим:

C1 = 1 - C2

5(1 - C2) + 5C2 = 15

5 - 5C2 + 5C2 = 15

5 = 15

Полученное уравнение не имеет решений, что означает, что система начальных условий задана некорректно. Вероятно, была допущена ошибка при указании начальных условий.