Question

Помогите исследовать функцию y=1/x + 4x^2 по пунктам: 1.обл.определения 2.интервалы монотонности и точки экстремума(у`) 3.интервалы выпукл/вогнут. и т.перегиба(y``) 4.асимптоты 5.построение графика

Answer 1

Я уже сталкивался с подомным

Answer 2

Дана функция y = 1/x + 4x^2. Давайте рассмотрим каждый пункт по порядку:

1. Область определения: Функция y = 1/x определена для всех значений x, кроме x = 0, так как деление на ноль не определено. Функция y = 4x^2 определена для всех значений x. Следовательно, область определения функции y = 1/x + 4x^2 состоит из всех значений x, кроме x = 0.

2. Интервалы монотонности и точки экстремума: Для анализа монотонности и экстремумов данной функции, найдем производную функции y' = (1/x)' + (4x^2)'. Распишем производные: y' = -1/x^2 + 8x

Для определения интервалов монотонности и точек экстремума приравняем производную к нулю и найдем значения x: -1/x^2 + 8x = 0 -1 + 8x^3 = 0 8x^3 = 1 x^3 = 1/8 x = 1/2

Подставим найденное значение x в производную и определим знаки производной до и после точки экстремума: y'(-1/2) = -1/(-1/2)^2 + 8(-1/2) = -1/1/4 + (-4) = -4 - 4 = -8 (отрицательное значение) y'(1/2) = -1/(1/2)^2 + 8(1/2) = -1/1/4 + 4 = -4 + 4 = 0 (нулевое значение) y'(2) = -1/2^2 + 8(2) = -1/4 + 16 = 16 - 1/4 = 63/4 (положительное значение)

Итак, функция y = 1/x + 4x^2 убывает на интервале (-∞, 1/2) и возрастает на интервалах (1/2, ∞). Точка экстремума находится при x = 1/2.

3. Интервалы выпуклости/вогнутости и точки перегиба: Для определения интервалов выпуклости/вогнутости и точек перегиба найдем вторую производную функции y'' = (y')'. Распишем производные: y'' = (8x)' = 8

Так как вторая производная является постоянной, то у функции нет точек перегиба. Она либо выпукла вверх на всей области определения, либо вогнута вниз на всей области определения.

4. Асимптоты: Для определения асимптот необходимо рассмотреть пределы функции при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности: lim (x->∞) (1/x + 4x^2) = 0 + ∞ = ∞ lim (x->-∞) (1/x + 4x^2) = 0 - ∞ = -∞

Таким образом, у функции y = 1/x + 4x^2 горизонтальная асимптота y = ∞ при x -> ∞ и y = -∞ при x -> -∞.

5. Построение графика: Для построения графика можно использовать найденные выше свойства функции. Начнем с области определения, которая включает все значения x, кроме x = 0. Затем построим график функции y = 1/x и график функции y = 4x^2. Далее объединим эти два графика, чтобы получить график функции y = 1/x + 4x^2.

Обратите внимание, что график функции будет стремиться к горизонтальной асимптоте y = ∞ при x -> ∞ и y = -∞ при x -> -∞.

Надеюсь, данное объяснение поможет вам исследовать функцию y = 1/x + 4x^2.