Question

найти неопределенный интеграл∫ arcctgx dx

Answer 1

∫ arcctgx dx=[u=arcctgx, du=-dx/(1+x^2), dv=dx, v=x]=x*arcctgx-∫(-x/(1-x^2))*dx=x*arcctgx+1/2∫(d(1+x^2))/(1+x^2)=x*arcctgx+(1/2)*ln(1+x^2)+c

Answer 2

Давайте найдем неопределенный интеграл ∫arcctgx dx подробно.

Интегрирование по частям

Для начала, давайте воспользуемся методом интегрирования по частям. Для этого мы применим формулу:

∫u * v dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx,

где u и v - функции, а u' и v' - их производные по переменной x.

В данном случае, мы можем выбрать u = arcctgx и dv = dx.

Вычисление производных

Давайте найдем производные u' и v'.

Найдем u': Для функции u = arcctgx, мы можем воспользоваться формулой производной для обратной функции:

(u')^(-1) = (v')^(-1),

где (u')^(-1) - производная обратной функции, (v')^(-1) - производная исходной функции. В нашем случае, это:

(u')^(-1) = 1 / (1 + x^2).

Найдем v': Для функции v = x, производная v' равна 1.

Применение формулы интегрирования по частям

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫arcctgx dx = arcctgx * x - ∫(1 / (1 + x^2) * x) dx.

Приведение к общему знаменателю

Для продолжения интегрирования, нам нужно привести к общему знаменателю второе слагаемое ∫(1 / (1 + x^2) * x) dx. Для этого, мы можем умножить числитель и знаменатель на (1 + x^2):

∫(1 / (1 + x^2) * x) dx = ∫(x / (1 + x^2)) dx.

Замена переменной

Давайте введем замену переменной, пусть 1 + x^2 = t, тогда 2x dx = dt, и dx = dt / (2x).

Замена переменной в интеграле

Подставив замену переменной, мы получаем:

∫(x / (1 + x^2)) dx = ∫(1 / 2t) dt = (1/2) * ln|t| + C,

где C - константа интегрирования.

Возвращение к исходной переменной

Теперь, давайте вернемся к исходной переменной x, заменив t обратно:

(1/2) * ln|t| + C = (1/2) * ln|1 + x^2| + C.

Окончательный ответ

Таким образом, неопределенный интеграл ∫arcctgx dx равен:

∫arcctgx dx = arcctgx * x - (1/2) * ln|1 + x^2| + C,

где C - константа интегрирования.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.