Question

Решите неравенство 10cos(в квадрате)x+3cosx-1 (больше или равно) 0

Answer 1

В заданном уравнении 10cos²x + 3cosx - 1>=0 заменим:cosx=n.
Получим 10n² + 3n - 1 ≥ 0.
Графически - это часть параболы от оси Ох и выше в положительной полуплоскости.
Находим точки пересечения параболы с осью Ох (то есть приравняем квадратный трёхчлен нулю):
10n² + 3n - 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно n: Ищем дискриминант:
D=3^2-4*10*(-1)=9-4*10*(-1)=9-40*(-1)=9-(-40)=9+40=49;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
n₁=(√49-3)/(2*10)=(7-3)/(2*10)=4/(2*10)=4/20 = 0,2;
n₂=(-√49-3)/(2*10)=(-7-3)/(2*10)=-10/(2*10)=-10/20 = -0,5.
Делаем обратную замену: 
cosx= 0,2,  x= +-arc cos 0,2 + 2πk, k ∈ Z.
x₁ = 2πk - 1,369438,
x₂ = 2πk + 1,369438.

cosx= -0,5,  x= +-arc cos (-0,5) + 2πk, k ∈ Z.
x₃ = 2πk -  2,094395,
x₄ = 2πk +  2,094395.

Заданный квадратный трёхчлен можно представить в виде множителей:
ax² + bx + c = а(x-x₁)(x-x₂), где x₁ и x₂ корни уравнения.
10cos²x + 3cosx - 1 ≥ 0.
10(cos x - 0,2)(cos x + 0,5) ≥ 0. 

Отсюда ответ:
2πn - arc cos (1/5) ≤ x ≤ 2πn + arc cos (1/5),
2πn + (2π/3) ≤ x ≤ 2πn + (4π/3).

Answer 2

Решение неравенства 10cos(x^2) + 3cos(x) - 1 ≥ 0

Для решения данного неравенства, мы можем использовать метод подстановки. Предлагаю воспользоваться вспомогательной переменной, чтобы упростить вычисления.

1. Обозначим \(u = \cos(x)\). Тогда неравенство примет вид: \(10u^2 + 3u - 1 ≥ 0\).

2. Теперь найдем корни квадратного уравнения \(10u^2 + 3u - 1 = 0\). Для этого воспользуемся дискриминантом: \(D = 3^2 - 4*10*(-1) = 9 + 40 = 49\).

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня: \(u_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{20} = \frac{-3 + 7}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}\) и \(u_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{20} = \frac{-3 - 7}{20} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}\).

3. Теперь разбиваем интервалы нашей области определения (где \(u\) удовлетворяет неравенству) с использованием найденных корней. Получаем три интервала: \((-\infty, -\frac{1}{2})\), \((-\frac{1}{2}, \frac{1}{5})\), \((\frac{1}{5}, +\infty)\).

4. Далее анализируем знаки внутри каждого интервала. Мы можем использовать тестовую точку в каждом интервале, чтобы определить знак неравенства.

- В интервале \((-\infty, -\frac{1}{2})\) можно взять \(u = -1\) (произвольная точка меньше \(-\frac{1}{2}\)). - В интервале \((-\frac{1}{2}, \frac{1}{5})\) можно взять \(u = 0\) (произвольная точка между \(-\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{5}\)). - В интервале \((\frac{1}{5}, +\infty)\) можно взять \(u = 1\) (произвольная точка больше \(\frac{1}{5}\)).

5. Подставляем найденные значения \(u\) обратно в выражение \(u = \cos(x)\) и получаем:

- Для интервала \((-\infty, -\frac{1}{2})\): \(\cos(x) < -\frac{1}{2}\). - Для интервала \((-\frac{1}{2}, \frac{1}{5})\): \(-\frac{1}{2} < \cos(x) < \frac{1}{5}\). - Для интервала \((\frac{1}{5}, +\infty)\): \(\cos(x) > \frac{1}{5}\).

Таким образом, решением исходного неравенства является: \[x \in \{x | \cos(x) < -\frac{1}{2}\} \cup \{x | -\frac{1}{2} < \cos(x) < \frac{1}{5}\} \cup \{x | \cos(x) > \frac{1}{5}\}\]