Question

Интеграл от -П/6 до П/3 ( cos x - 2sin x ) dx Помогите, пожалуйста

Answer 1

Интеграл разности - разность интегралов

$\int{(cos(x)-2sin(x))} dx = \int{cos(x)} dx - \int{2 sin(x)} dx$

умножение на константу под интегралом - выносим за знак интеграла

$\int{cos(x)} dx - \int{2 sin(x)} dx = \int{cos(x)} dx - 2 \int{sin(x)} dx$

Теперь под интегралами простые известные выражения:

$\int{cos(x)} dx - 2 \int{sin(x)} dx = sin(x) + 2 cos(x) + C$

Подставляем пределы интегрирования и берём разность:

$sin( \cfrac{\pi}{3} ) + 2 cos(\cfrac{\pi}{3}) - sin(-\cfrac{\pi}{6}) - 2 cos(-\cfrac{\pi}{6})$

знаки отрицательных аргументов выносим:

$sin( \cfrac{\pi}{3} ) + 2 cos(\cfrac{\pi}{3}) + sin(\cfrac{\pi}{6}) - 2 cos(\cfrac{\pi}{6})$

$(\sqrt{3}/2)+2 \cdot (1/2) + (1/2) - 2 \cdot (\sqrt{3}/2) = 3/2 - \sqrt{3}/2 = (3 - \sqrt{3})/2$

Answer 2

Для решения данного интеграла можно воспользоваться методом замены переменной.

Пусть u = cos(x) - 2sin(x). Тогда дифференциал переменной u будет равен du = (-sin(x) - 2cos(x))dx.

Необходимо выразить dx через du. Для этого можно разделить обе части уравнения du = (-sin(x) - 2cos(x))dx на (-sin(x) - 2cos(x)). Получим:

dx = du/(-sin(x) - 2cos(x)).

Теперь подставим это выражение для dx в исходный интеграл:

∫[(-П/6) до (П/3)] (cos(x) - 2sin(x))dx = ∫[(-П/6) до (П/3)] (cos(x) - 2sin(x))(du/(-sin(x) - 2cos(x))).

Заметим, что (-sin(x) - 2cos(x)) в числителе и знаменателе сокращаются. Таким образом, остается:

∫[(-П/6) до (П/3)] du.

Интеграл от константы равен константе, поэтому получаем:

∫[(-П/6) до (П/3)] du = u∣[(-П/6) до (П/3)] = (cos(x) - 2sin(x))∣[(-П/6) до (П/3)].

Теперь остается только подставить пределы интегрирования:

(cos(П/3) - 2sin(П/3)) - (cos(-П/6) - 2sin(-П/6)).

Вычислим значения функций cos и sin для данных углов:

cos(П/3) = 1/2, sin(П/3) = √3/2, cos(-П/6) = √3/2, sin(-П/6) = -1/2.

Теперь подставим значения и вычислим:

(1/2 - 2(√3/2)) - (√3/2 - 2(-1/2)) = 1/2 - √3 - √3/2 + 1 = 3/2 - 2√3.

Таким образом, интеграл от -П/6 до П/3 (cos(x) - 2sin(x))dx равен 3/2 - 2√3.