Question

Помогите. Найти решение задачи Коши: y'-y/x=x^2; y(1)=0

Answer 1

Решение во вложенном файле

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей! Задача Коши - это задача о нахождении функции y(x), удовлетворяющей обыкновенному дифференциальному уравнению и начальному условию. Давайте начнем с пошагового решения этой задачи.

Формулировка задачи

Дано дифференциальное уравнение: \[ y' - \frac{y}{x} = x^2 \] с начальным условием: \[ y(1) = 0 \]

Решение

# Шаг 1: Найдем общее решение дифференциального уравнения

Для начала найдем общее решение данного дифференциального уравнения. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, поэтому мы можем воспользоваться методом интегрирующего множителя.

Умножим обе части уравнения на x: \[ xy' - y = x^3 \]

Теперь заметим, что левая часть уравнения представляет собой производную от произведения y и x: \[ (xy)' = x^3 \]

Интегрируя обе части этого уравнения, получим: \[ xy = \int x^3 dx \] \[ xy = \frac{x^4}{4} + C \]

Где C - произвольная постоянная.

Теперь выразим y: \[ y = \frac{x^4}{4x} + \frac{C}{x} \] \[ y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x} \]

# Шаг 2: Найдем частное решение с учетом начального условия

Теперь, используя начальное условие y(1) = 0, найдем значение постоянной C: \[ 0 = \frac{1}{4} + C \] \[ C = -\frac{1}{4} \]

Итак, частное решение задачи Коши имеет вид: \[ y = \frac{x^3}{4} - \frac{1}{4x} \]

Ответ

Таким образом, решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения имеет вид: \[ y = \frac{x^3}{4} - \frac{1}{4x} \]

Надеюсь, это решение поможет вам в изучении задач на дифференциальные уравнения! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.