Question

Помогите, пожалуйста, с геометрией, 10 класс! В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ BD1 = 15, а боковое ребро CC1 равно 6 корней из 6. Найдите косинус угла ACA1.

Answer 1

В основании лежит прямоугольник,диагонали которого равны.Равны и диагонали параллелепипеда.
Значит BD1=A1C=15
CC1=AA1=6√6
sin<ACA1=AA1/A1C=6√6/15=0,4√6
cos<ACA1=√(1-sin²<ACA1)=√(1-24/25)=√1/25=1/5=0,2

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Обозначим угол ACA1 как α.

Из условия задачи известно, что диагональ BD1 равна 15, а боковое ребро CC1 равно 6√6.

Для начала найдем длину ребра AB. Поскольку ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, то диагональ BD1 является гипотенузой прямоугольного треугольника ABD1. Зная гипотенузу и один катет (ребро AB), можем воспользоваться теоремой Пифагора: AB^2 + AD1^2 = BD1^2 AB^2 + AD1^2 = 15^2 AB^2 + AD1^2 = 225 AB^2 = 225 - AD1^2

Также из условия задачи известно, что боковое ребро CC1 равно 6√6. Обозначим ребро AB как x. Тогда ребро AC равно x√6, а ребро A1C1 равно x√6. Таким образом, получаем: AB = x AC = x√6 A1C1 = x√6

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ACA1: cos(α) = (AC^2 + A1C1^2 - AA1^2) / (2 * AC * A1C1)

Подставим значения: cos(α) = (x√6^2 + x√6^2 - 6^2) / (2 * x√6 * x√6) cos(α) = (6x^2 + 6x^2 - 36) / (2 * 6x * 6x) cos(α) = (12x^2 - 36) / (72x^2) cos(α) = (2x^2 - 6) / (12x^2) cos(α) = (x^2 - 3) / (6x^2)

Теперь остается только найти значение x. Воспользуемся формулой для длины диагонали параллелепипеда: BD1^2 = AB^2 + AD1^2 15^2 = x^2 + x^2 225 = 2x^2 x^2 = 225 / 2 x^2 = 112.5 x = √112.5 x = 3√2 * √5

Подставим найденное значение x в формулу для косинуса α: cos(α) = ((3√2 * √5)^2 - 3) / (6 * (3√2 * √5)^2) cos(α) = (18 * 5 - 3) / (6 * 18 * 5) cos(α) = (90 - 3) / (6 * 90) cos(α) = 87 / 540 cos(α) = 29 / 180

Таким образом, косинус угла ACA1 равен 29/180.