Question

Помогите найти область определения функции, если можно с объяснением:

Answer 1

1) Подкоренное выражение должно быть неотрицательно.
     tg x  определен при тех х, при которых знаменатель отличен от нуля.
$\left \{ {{4- x^{2} \geq 0} \atop {cosx \neq 0}} \right.$
Решение первого неравенства :  -2 ≤ x ≤ 2
Решение уравнения
cos x=0    ⇒   x = π/2 + πk,  k ∈Z
Рисуем отрезок [-2;2]  на клетчатой бумаге !   Чтобы можно было отметить точки π/2
(см. рис.1)
2 клеточки = единичному отрезку.
Слева от 0 4 клеточки и справа 4 клеточки.
π равняется 6 клеточкам, а  π/2  3 клеточки.
значит на [-2;2] надо отметить две точки π/2 пустым кружком и -π/2
Ответ [-2; -π/2) U(-π/2; π/2) U (π/2 ; 2]
2)  Функция у = arcsin x  определена на отрезке [-1;1]
     Значит,  -1 ≤ х-1 ≤1
       прибавим 1 ко всем частям неравенства
       0 ≤ х ≤2
Область определения числителя отрезок [0;2]
В знаменателе логарифмическая функция, она  определена при х > 0  и знаменатель должен быть отличен от нуля.
lg x ≠0  ⇒  x≠10⁰,   x≠1

Область определения определяется тремя условиями, которые надо записать в системе
-1≤х-1≤1
х>0
lg x≠0

Из отрезка [0;2]  убираем точку 0 ( знаменатель определен при х>0)  и точку 1 (х≠1)
Ответ. (0;1) U (1; 2]
3) В первой дроби подкоренное выражения числителя должно быть неотрицательным
     Знаменатель должен быть отличен от 0.
     lg     определен при х-1 > 0
   Итак, три условия в системе
sin x ≥0,5
x≠2
x-1>0
Первому неравенству удовлетворяют х, такие, что
π/4+2πk ≤x≤3π/4 + 2πk,  k∈Z
Опять листочек в клеточку:
(см. приложение рис. 2)
(1;2)U(2; 3π/4] U (π/4 + 2πn ; 3π/4 + 2πn), n ∈N 
Внимательно!   n начинается с 1, потому как решение х >1 обязывает нас взять только те решения тригонометрического неравенства, которые расположены правее 1.

Answer 2

Область определения функции - это множество значений аргументов, для которых функция имеет определение и может быть вычислена.

Для нахождения области определения функции, необходимо учесть следующие моменты:

1. Выражения под знаком радикала (корня) должны быть неотрицательными. Например, функция f(x) = √(x - 1) имеет область определения x ≥ 1, так как выражение под корнем должно быть неотрицательным.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Например, функция g(x) = 1/(x - 3) имеет область определения x ≠ 3, так как знаменатель не может быть равен нулю.

3. В некоторых случаях, функции могут иметь ограничения на значения аргументов в виде неравенств или интервалов. Например, функция h(x) = √(4 - x^2) имеет область определения -2 ≤ x ≤ 2, так как выражение под корнем должно быть неотрицательным и не превышать 4.

Таким образом, при нахождении области определения функции необходимо учитывать все указанные моменты и решать соответствующие неравенства или уравнения, чтобы определить допустимые значения аргументов функции.