Question

Остатки от деления числа k на 13 и 7 равны соответственно 2 и 5. Найти остаток от деления квадрата числа k на 91.

Answer 1

К=54 вроде как
методом подбор. но на 91 оно не делится. только оно подходит

Answer 2

Дано, что остатки от деления числа k на 13 и 7 равны 2 и 5 соответственно. Обозначим эти остатки как r1 и r2:

k ≡ 2 (mod 13) k ≡ 5 (mod 7)

Теперь найдем общее решение этой системы сравнений. Для этого воспользуемся Китайской теоремой об остатках.

Сначала найдем обратные элементы для 13 и 7 по модулю 7 и 13 соответственно. Обратный элемент для a по модулю m - это такое число b, что a*b ≡ 1 (mod m).

Для 13: 7*2 ≡ 1 (mod 13) Таким образом, обратный элемент для 7 по модулю 13 равен 2.

Для 7: 13*8 ≡ 1 (mod 7) Таким образом, обратный элемент для 13 по модулю 7 равен 8.

Теперь найдем частные решения для каждого остатка:

Для 13: x1 = 2*5*8 ≡ 80 (mod 91)

Для 7: x2 = 5*2*2 ≡ 20 (mod 91)

Теперь найдем общее решение системы сравнений:

k ≡ x1*7 + x2*13 ≡ 80*7 + 20*13 ≡ 560 + 260 ≡ 820 ≡ 40 (mod 91)

Таким образом, остаток от деления квадрата числа k на 91 равен 40.