Question

№1. Найти производные сложных функций: 1) y= 3/(8x²+1)^5 2) y=12x³+(7x^4-3)^6 3) y=3√x+㏑(4x²-1) 4) y=e^3x3-2/6 + sin4x/2 №2. Вычислить интегралы способом подстановки: 1) ∫(3+5x)^4 dx 2)∫6xdx/x²+1 3) ∫√x^5-3 × x^4 dx

Answer 1

1) у'=-240 (8х^2+1)^4/(8х^2+1)^10
2)у'=36х^2+168 (7х^4-3)^5
3)3/2корня из х +8х/(4х^2-1)

Answer 2

№1. Найдем производные сложных функций:

1) y = 3/(8x²+1)^5 Для начала найдем производную внутренней функции: (8x²+1)' (8x²+1)' = 16x Теперь найдем производную внешней функции, используя правило дифференцирования сложной функции: y' = (3/(8x²+1)^5)' = (3)' * ((8x²+1)^5)' = 0 * (8x²+1)' = 0

2) y = 12x³+(7x^4-3)^6 Аналогично, найдем производные внутренней и внешней функций: y' = (12x³+(7x^4-3)^6)' = (12x³)' + ((7x^4-3)^6)' = 36x² + 6(7x^4-3)^5 * (7x^4-3)'

3) y = 3√x+㏑(4x²-1) y' = (3√x+㏑(4x²-1))' = (3√x)' + (㏑(4x²-1))' Для нахождения производных сложных функций, мы используем правила дифференцирования простых функций.

4) y = e^3x3-2/6 + sin4x/2 y' = (e^3x3-2/6 + sin4x/2)' = (e^3x3-2/6)' + (sin4x/2)'

№2. Вычислим интегралы способом подстановки:

1) ∫(3+5x)^4 dx Пусть u = 3+5x, тогда du/dx = 5 dx = du/5 Заменим dx в исходном интеграле: ∫(3+5x)^4 dx = ∫u^4 * (du/5) = (1/5) * ∫u^4 du = (1/5) * (u^5/5) + C = (u^5/25) + C Вернемся к исходной переменной: (3+5x)^5/25 + C

2) ∫6xdx/x²+1 Пусть u = x²+1, тогда du/dx = 2x dx = du/(2x) Заменим dx в исходном интеграле: ∫6xdx/x²+1 = ∫6x * (du/(2x)) = (6/2) * ∫du = 3u + C = 3(x²+1) + C

3) ∫√x^5-3 × x^4 dx Пусть u = x^5-3, тогда du/dx = 5x^4 dx = du/(5x^4) Заменим dx в исходном интеграле: ∫√x^5-3 × x^4 dx = ∫√(x^5-3) × x^4 * (du/(5x^4)) = (1/5) * ∫√(x^5-3) du = (1/5) * (2/3) * (x^5-3)^(3/2) + C = (2/15) * (x^5-3)^(3/2) + C